量子膨胀器背后的几何图形

（也在这里询问，没有回复）

甲 -quantum膨胀机是一个分布在单一组与所述属性是：a），b），其中是哈尔度量。如果我们考虑置换矩阵而不是unit分布，那么不难发现我们恢复了d-正则展开图的通常定义。有关更多背景信息，请参见例如：Harrow和Low的高效量子张量积扩展器和k-designs。$(d,\lambda)$$\nu$$\mathcal{U}(d)$$|\mathrm{supp} \ \nu| =d$$\Vert \mathbb{E}_{U \sim \nu} U \otimes U^{\dagger} - \mathbb{E}_{U \sim \mu_H} U \otimes U^{\dagger}\Vert_{\infty} \leq \lambda$$\mu_H$$d$

我的问题是-量子扩展器是否接受类似于经典扩展器的任何几何解释（其中光谱间隙$\sim$等值法/基础图的扩展）？我没有正式定义“几何实现”，但从概念上讲，人们可以希望将纯粹的光谱准则转化为某种几何图形（在经典情况下，这是扩展器享有的数学丰富性的来源；量子的数学结构）扩展器似乎受到更多限制）。

[此答案是从我现在不复存在的理论物理堆栈交换站点上的答案中复制的。]对于经典扩展器，频谱定义可以用图拉普拉斯图的第二小特征值表示，可以认为是拉普拉斯图的最小值。正交于全一矢量的所有单位矢量的二次形式。如果将这种最小化限制为（a，a，...，a，b，b，..b）形式的向量，则将产生图的边扩展。 这里是一个讨论。这两个定义的大致等价关系称为Cheeger不等式。

这表明对于量子情况，我们应该考虑通道（通过应用来自扩展器的随机unit而形成）在投影仪上的作用。arXiv：0706.0556的附录A中得出了与Cheeger不等式类似的结果。

另一方面，尽管这在数学上是类似的，但我们仍然知道量子膨胀器的应用比经典膨胀器要少得多。