分形迷宫的可判定性

分形迷宫是包含其自身副本的迷宫。例如，以下是Mark JP Wolf 撰写的以下文章：

从MINUS开始，然后前往PLUS。输入迷宫的一个较小的副本时，请务必记录该副本的字母名称，因为您将不得不在出路时留下该副本。您必须退出所输入迷宫的每个嵌套副本，并以与输入时相反的顺序退出（例如：输入A，输入B，输入C，退出C，退出B，退出A）。可以将其视为一系列嵌套框。如果没有退出嵌套副本的退出路径，则说明您已经走到了尽头。已添加颜色以使路径更清晰，但它仅是装饰性的。

如果存在解决方案，则广度优先搜索应找到解决方案。但是，假设没有解决方案，那么我们的搜索程序将永远运行下去。

我的问题是：给定一个分形迷宫，我们如何确定它是否有解？

或者，对于给定大小的分形迷宫（每个副本的输入/输出数量），最短解的长度是否有界限？（如果有这样的界限，我们只能进行深度搜索）

一种快速的非正式算法来证明问题是可以判定的：

• 假设有输入/输出我1，。$n$ ;$I_1,...I_n$
• 建立的曲线图，其中每个我我的中号我Ñ ù 小号和P 大号û 小号是节点，和替换每个嵌套迷宫中号Ĵ与ķ Ñ子图（完全图）; 根据迷宫在I i，M I N U S ，P L U S ，M j I k之间添加边；保持“外部” M j I i → M $G$$I_i$$MINUS$$PLUS$$Mj$$K_n$$I_i, MINUS, PLUS, Mj_{I_k}$$Mj_{I_i} \rightarrow Mj_{I_k}$与相应的“内部”边缘I i → I k不同的边缘$I_i \rightarrow I_k$的作为一个完整的子图;$Mj$
• 列举从MINUS到PLUS的所有路径 （避免循环）；$G$
• 如果您找到不遍历嵌套副本的路径，则它是一种解决方案；否则扩展嵌套迷宫的每个“内部”遍历每个路径 M j的每个：$Mj$

假设第一个枚举中的路径是，则该路径是有效的解，如果存在从I来的路径i → I j，从I k → I $MINUS \rightarrow A_{I_i} \rightarrow A_{I_j} \rightarrow B_{I_k} \rightarrow B_{I_h} \rightarrow PLUS$$I_i \rightarrow I_j$$I_k \rightarrow I_h$在原始迷宫中（图）。$G$

因此，我们必须扩大在和乙我ķ → 乙我^ h遍历枚举所有的路径从我我到我ķ和我ķ给我$A_{I_i} \rightarrow A_{I_j}$$B_{I_k} \rightarrow B_{I_h}$$I_i$$I_k$$I_k$$I_h$在。$G$

当我们在先前阶段已经包含的路径的扩展中枚举从到I k的所有路径时，将检测到无限循环。。。→ M I i → M I k → 。。。对于一些子迷宫M（只有$I_i$$I_k$$... \rightarrow M_{I_i} \rightarrow M_{I_k} \rightarrow ...$$M$可能的展开）。$n^2$

如果找到仅包含输入/输出I i的路径扩展，则找到解决方案$I_i$。如果我们无法进一步扩展没有循环的路径，迷宫将无法解决。

这不是对我的问题的“答案”，而是对此处的人们可能感兴趣的扩展注释。

我声称迷宫和溶液有一个自然的“分析型”定义，它不同于我们在这里使用的计算机科学/图形理论定义。特别是，您可以拥有一个分形迷宫，该分形迷宫的分析定义下有一个“解决方案”，但被Marizio De Biasi的算法和Peter Shor的下推自动机技术宣布为无法解决。

$M$$M \subset \mathbb{R}^2$$s,e \in M$$f:[0,T] \rightarrow M$$f(0)=s$$f(T)=e$

现在考虑希尔伯特曲线：

下图可以将曲线解释为“分形迷宫”：

$P$

$P = APA^{-1}BPB^{-1}CPC^{-1}DPD^{-1}$

现在您可能会争辩说，这不符合分形迷宫的精神，因为希尔伯特曲线会填满整个正方形，因此您可以从起点到终点绘制一条直线段。但是，此异议很容易被覆盖-只需使用直接嵌入的希尔伯特曲线图即可，如下所示：

它也包含从起点到终点的一系列一致收敛的连续路径，其使用的相同论点用于表示希尔伯特曲线的一致收敛。但是，从不填充整个空间的意义上来说，它是真正的“分形迷宫”。

因此，我们有一个分形迷宫，可以通过解析定义解决，但不能通过图论定义解决。

无论如何，我很确定我的逻辑是正确的，但是这似乎违反直觉，因此，如果有人可以对此有所了解，我将不胜感激。