3维球体的VC尺寸

我正在搜索以下集合系统的VC维度。

宇宙 $U=\{p_1,p_2,\ldots,p_m\}$ 这样 $U\subseteq \mathbb{R}^3$。在设定系统中$\mathcal{R}$ 每套 $S\in \mathcal{R}$ 对应于 $\mathbb{R}^3$ 这样的设置 $S$ 包含一个元素 $U$ 当且仅当相应的球体包含在 $\mathbb{R}^3$。

我已经知道的细节。

1. VC维度至少为4。这是因为如果 $p_1,p_2,p_3,p_4$ 是一个四面体的四个角，那么它可以被粉碎 $\mathcal{R}$

2. VC维度最多为5。这是因为可以将集合系统嵌入到其中 $\mathcal{R}^4$ 在球体中 $\mathcal{R}^3$ 对应于 $\mathcal{R}^4$。众所周知，超平面$\mathcal{R}^d$ 有VC尺寸 $d+1$。

这是一个简单的论点：

假设有一套 $U$可以被球打碎的5分。所以对于任何一套$S \subseteq U$，有一个球 $B$ 圣 $B \cap U = S$ 和一个球 $B'$ 圣 $B' \cap U = U \setminus S$。因此，$B \cap B'$ 没有任何要点 $U$。如果$B \cap B' = \emptyset$， $B$ 和 $B'$可以用飞机分开。否则，曲面的交点$B$ 和 $B'$是一个圆圈。圆所在的平面分开$S$ 从 $U \setminus S$。因此，$U$ 可以被半空间打碎，这是一个矛盾。

更高维度上的相同论点表明，球的VC尺寸等于半空间的VC尺寸。

我的解决方案不正确。查看其他答案...