多边形归纳问题中的多边形

我想对以下所有帖子表示歉意。选择了错误的论坛将其最初发布在此。但是，不是将其完全浪费掉，而是将问题改写为真正的“理论计算机科学”问题。

问题：创建一个算法，该算法在2D平面中采用一组n个有序点，这些点形成一个可能是也可能不是凹面的简单多边形A的轮廓，并创建一个具有m个点的新多边形B，从而：

一些示例输入和预期输出：

祝所有尝试此问题的人都好运。我可以向您保证，这将是非常困难的，尤其是现在解决方案必须是最佳的。

ds.algorithms cg.comp-geom polygon

— 瑟兰
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@Joe：不正确：如果A是一个正方形，那么Thirian要求包含A的最小面积三角形。另一方面，如果A是一个三角形（），那么实际上没有有效的解决方案。

n = 3

$n=3$

— Jeffε

我想在我的第一条评论中加上17。为什么是20？

— 杰夫斯

FFT难道不是“复杂”的低门槛吗？

— Sasho Nikolov

我不认为如果您（例如）设置m = 3，问题根本就不会改变是完全不对的。问题是，您可能需要以m为单位的时间指数，如果m固定为某个数字，就可以了，但如果m是输入的一部分，则不正确。

— Suresh Venkat 2012年

“每个人都知道问题出在哪里”是不正确的。我们之所以问是因为未指定的选择会有所作为。

— Suresh Venkat 2012年

Answers:

我不知道您的多边形看起来如何，但是简化的Ramer–Douglas–Peucker算法版本就足够了：

对于每个凸部，计算面积 $A_j$ 的三角形 $P_i P_{i+1} P_{i+2}$ 由三个连续点组成；
对于每个凹形部分，计算面积 $B_k$ 两个三角形中的一个 $P_i P'_i P_{i+1}$ 和 $P_{i+1} P'_{i+2} P_{i+2}$ 由两点的扩展形成 $P_i, P_{i+2}$ 和中间点 $P_{i+1}$
计算 $min\{A_j,B_k\}$ 并删除相应的点（如果在凹入部分上进行了操作，则删除该点）；
循环直到 $n-m$ 点已被删除。

在此处输入图片说明
多边形的边界（ $A_j$ 绿色三角形 $B_k$ 红色三角形）。在右边，边界消除了两点。

对于更复杂的算法，尽管您的第一个条件（A中的点包含在B中）暗示了一些附加的缩放操作，但是您可以搜索“ 多边形归纳技术 ”。

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
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@Suresh：我很确定当前的4次投票是为了透明度，而不是（几乎是微不足道的）算法：）

— Marzio De Biasi 2012年

这会遇到与Ramer-Douglas-Peucker算法相同的问题：不能保证输出是简单的多边形！

— 杰夫斯

@Jeffe：您是对的，但是（如果多边形复杂，则不是最佳选择）可以避免导致冲突的简化。最后，如果还有其他点必须删除但无法避免使用非简单多边形，请使用冲突解决方法（例如，计算相交点并完全丢弃“孔”）。但是，我想从OP中看到一个真实的例子。

— Marzio De Biasi 2012年

@MarzioDeBiasi可能有效。但是可能不会。我认为您描述的每个简化都可能导致自相交。而“抛出循环”会使情况变得更糟，而不是更好。在实践中，这可能是一个很好的解决方案，但请记住我们在哪里！

— Jeffε

谢谢Marzio，我现在至少知道这些问题现在叫什么！遗憾的是，您给出的解决方案是我建议的解决方案中的（3）和（4），而（4）却有问题。椭圆拉伸得很厉害，因此尖锐的尖端的角度大约为30度或更小，很容易违反要求（1）。

— 瑟兰2012年

我很早以前写过一篇论文，详细介绍了一种线性时间算法，该算法可以找到包围点集（或多边形）的最小面积三角形：

J. O'Rourke的，阿洛克AGGARWAL，Sanjeev Maddila，迈克尔鲍德温， “寻找最小包围的三角形的最优算法，” J.算法，1986，7：258--269。连结。

我们的工作之后是通用算法：

“最小的外接多边形”，Alok Aggarwal，JS Chang和Chee K. Yap， 《可视计算机》，第1卷，第2期（1985年），第112-117页。连结。

您可以使用Google学术搜索跟踪以后引用这些文献的论文，以找到改进和相关工作。

— 约瑟夫·奥罗克
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