计算与正方形重叠的厚区域的数量

令为单位平方。作为的函数，可以与相交的直径至少为1的 -fat对不相交区域的最大数量是多少？ $S$ $\beta$ $\beta$ $S$

下面，我们给出一个图，显示，最大数量为7。怎么办？ $\beta=1$ $\beta = 2, 3, \ldots, n$

回忆一下平面中区域的脂肪定义。给定区域，设半径为圆为包含的最大圆，设半径为圆为包含的最小圆。的胖度由给出，对于，我们说是 -fat 。 $R$ $C_1$ $r_1$ $R$ $C_2$ $r_2$ $R$ $R$ $\frac{r_2}{r_1}$ $R$ $\beta$ $\beta = \frac{r_2}{r_1}$

例如，如果，则区域为单位圆，并且存在直径至少为1的7个圆，它们可以与重叠而不彼此重叠。在下图中，我们描绘了一个单位正方形和与该正方形重叠的7个单位圆。 $r_2 = r_1=\frac{1}{2}$ $S$

重叠的圆圈

cg.comp-geom

— 乔
source

条件“至少与一样大的圆”令人困惑，并且如果您在谈论区域，则半径为的圆不如大。另外，对于情况，您可以放置圆圈（一个在的中间），我愚蠢地错了吗？

S

$S$

1

$1$

S

$S$

r_{2} = r_{1} = 1

$r_2 = r_1 = 1$

7

$7$

S

$S$

— 曹

您对“厚”的定义是“胖”的标准定义之一。我假设您的意思是“ 可以与S 相交的，直径至少为1的最大厚度的不相交区域”，因为否则没有上限。小圆圈的厚度为1。

— Jeffε'12年

@Jɛﬀ E是的，这正是我要说的。我将编辑问题进行澄清。

— 2012年

@YixinCao我提供了一个数字，希望可以澄清一些事情。

— 2012年

@Joe如图所示，可能有七个圆圈。该点是：与两个相对点相切的两个圆（几乎）相切。我的绘图总是很糟糕，但是我希望图形对您有所帮助。

— 曹

我认为与正方形重叠的成对不相交脂肪区域的最大数量应与圆形堆积紧密相关。

一个区域的最坏情况是“球形”。下面我描述了直径为1的的区域 $\beta=2$

。

而且它们可以在单位平方距离1内打包，显然比我描述的要紧密得多。

球链包装

请注意，实际的球和链区域是由绿色区域定义的，外圆仅是描述这些区域具有脂肪2的事实的指导。实际上，该区域的链部分可以“弯曲”以允许更多地区需要打包。

在此处输入图片说明

— 乔
source