用于检查量子门集通用性的可判定性/算法

给定有限的一组量子门，从计算理论上来说，是否是否为通用门集合？一方面，“几乎所有”门集都是通用的，另一方面，对非通用门集的理解仍然不是很清楚（特别是，当然，不知道每个非通用门集是否都可以经典模拟），因此，我想给出一个检查通用性的显式算法可能很简单。 $\mathcal{G} = \{G_1, \dots, G_n\}$ $\mathcal{G}$

quantum-computing

— 马辛·科托夫斯基（Marcin Kotowski）
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你能澄清这个问题吗？Joe的答案假设您有固定数量的量子位，并且所有门都对这些位起作用，但是出于普遍性，我们通常假定门可以对任何量子位子起作用。例如，如果单量子位门只能作用于第一个量子位，并且CNOT仅从量子位1到量子位2，则CNOT +所有单量子位门都不通用。获得普遍性。在那种情况下，我认为答案可能是未知的。

@DanielGottesman：我同意我的回答的局限性。事实上，我相信这是在后一种情况下不可判定如下：取对量子比特的无限格子元胞自动机，并用它来编码停机问题（这个更新统一

）。然后，使用通用QCA（更新单位为

）获取第二个晶格。我们可以定义一个新的统一

，其中下标

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

C U_{2} = | 0 ⟩ ⟨ 0 |_{H} \otimes I + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes U_{2}

$CU_2 = |0\rangle\langle0|_H\otimes I + |1\rangle\langle1|\otimes U_2$

H

$H$ 表示设置为

的量子比特

当且仅当该第一细胞自动暂停。

| 1 ⟩

$|1\rangle$

— 2012年

因此，当且仅当第一图灵机停止时，门

是通用的，因此无法确定。

C U_{2} \times U_{1}

$CU_2 \times U_1$

— Joe Fitzsimons，2012年

对于哈密顿主义者，而不是盖茨，答案是肯定的：您只需列举李代数的独立元素。由于李代数是向量空间，加上了李括号运算符。由于该空间是有限的，因此它具有有限的基础，并且可以很容易地在李括号操作下检查该空间是关闭还是打开。可以在空间维数上按时间多项式简单地检查所有成对的正交算子的Lie括号，并且可以通过Gram-Schmidt方法找到合适的算子基础。

对于门，您实际上没有直接选择无穷小的相同选择，并且需要构造具有不合理特征值的门，以便可以任意近似所需的无穷小生成器。我猜有一个相对简单的方法可以做到这一点，但是对我来说这并不是立即显而易见的。

无论如何，取门的对数来获得一组运算符，这些运算符将在取幂时生成它们，并检查这些运算符是否生成了完整的李代数，这将为通用性提供简单但必要但不足的标准。

— 乔·菲茨西蒙斯
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为什么我们应该只检查对？

— Alex'qubeat'2012年

@AlexV：因为李括号用于2个输入。每次生成一个新的线性独立算子时，您都会生成一个正交算子，然后重复进行直到获得闭合。

— Joe Fitzsimons 2012年

[\dots [H_{k}, H_{j}], H_{l}], \dots]

$[\ldots[H_k,H_j],H_l],\ldots]$

@AlexV：不需要。它是向量空间，因此，当且仅当向量正交于该子空间的任何基础时，它才与该子空间正交。

— Joe Fitzsimons 2012年

可能我们在谈论不同的事物-您在谈论哪个向量空间？您从一开始就不知道门产生的子代数-您需要根据给定的哈密顿量构造子代数，以检查它是否完整为李代数。

— Alex'qubeat'2012年