区域定理的更直观证明？

区域定理说，如果我们用另一条线刺入n条线的排列，则其区域（与之相邻的所有0、1和2面的集合）的总复杂度为O（n）。实际常数至少在各种教科书中都说过，大约为6n，而证明是通过归纳法得出的，并经过相当仔细的收费论证。

在课堂上有人问我这个问题，但没有答案：

区域定理是否存在另一种更直观的证明？

现在，我意识到许多人发现归纳法非常直观，并且会因我的含意而冒犯，并且愿意将以上内容修改为仅“替代”它们。但是有没有这样的证据？甚至是书中的证明？

这不是更干净的方法，但是它是为更高级的东西做准备的好方法，并且是抽象的一个很好的例子...

可以使用Davenport-Schinzel序列参数。考虑区域线上方的区域。每条线变成一条光线，实际上是两条光线，因为我们认为左侧和右侧是不同的。从左到右扫描该区域的边界，记下遇到的光线。这是在2n个符号上定义的序列，并且模式abab是非法的。这样，序列的长度最多为2（2n）-1 = 4n-1。将其应用到该线下方的区域，意味着边界为8n。

现在，证明没有... a..b..a..b ...作为n个符号的子序列的符号序列的长度为2n-1是容易的。实际上，请考虑在此序列中彼此最接近的两个相同字符的连续出现。显然，在这两个字符之间，出现的每个字符必须是唯一的。考虑一个这样的字符，并观察它是否出现在字符串中的其他位置，那么我们将获得禁止的子序列。因此，此字符在字符串中仅出现一次。删除它，如果您创建了两个连续的相同字符，则需要删除一个多余的字符。即，从字符串中删除字符将其缩短2，因此，字符串的最大长度为2n-1。

我发现归纳法非常直观，并且被您的含意所冒犯。但是什么收费的论点呢？

Wlog假定定义区域的线是水平的（否则旋转），并且这些线处于一般位置（否则会扰动并使区域更复杂）。删除其他n行之一。将生成区域的边缘分为左边界或右边界，分别取决于区域是位于其右侧还是左侧。（有些边沿既是左边界又是右边界，但在复杂性边界中被计数两次。）根据归纳假设，最多存在3n-3个左边界。（基本情况n = 0是微不足道的。）重新插入已删除的行最多会添加3个左边界（该行本身有一个边界，另外两个则是分割较旧的左边界）。因此，左边界的总数至多为3n。对称地，右边界的数量最多为3n，因此区域的总复杂度最多为6n。

大卫·芒特（David Mount）计算几何类讲义的第13页上有一个收费论据的证明作为练习（以及逐步提示）：http : //www.cs.umd.edu/class/fall2005/cmsc754/Handouts/ cmsc754-handouts.pdf