SU（3）的通用门套？

在量子计算中，我们经常对一组特殊的operators算子G对于某些d维系统给出的正好是整个SU（d）或什至只是SU（d）的密集覆盖提供的近似值的情况感兴趣。

一组有限阶，例如d维系统C（d）的Clifford组，将不会给出密集的覆盖。如果该组是Abelian，则无序的组将不会给出密集的覆盖。但是，我的直觉是，克利福德集团的无限数量的闸门和基础变更操作足以提供密集的掩护。

形式上，我的问题是：

我有一个G组，它是SU（d）的一个子组。G具有无限阶，并且C（d）是G的子组。所有这样的G是否都提供SU（d）的密集覆盖。

请注意，我对d> 2的情况特别感兴趣。

我将Clifford组定义如下：http : //arxiv.org/abs/quant-ph/9802007

这不是一个完整的答案，但也许可以在某种程度上回答问题。

由于具有无限阶，但没有，所以必须包含一个非Clifford群门。但是，具有作为子组。但是对于，Clifford组加上不在Clifford组中的任何其他门都是近似通用的（例如参见此处的定理1 ）。因此，所有这样的在上提供密集的覆盖。G C （d ）G G C （d ）d = $G$$C(d)$$G$$G$$C(d)$$d=2$G S U （2 n$G$$SU(2^n)$

对于的情况，似乎有可能证明您仍然可以通过以下几行获得密集的封面（使用问题中链接到的论文的注释）：$d>2$

1. 因为中的所有门都是单一的，所以它们的所有特征值都是统一的根，为简单起见，我将通过实角。ģ 0 ≤ θ 我 < 2 $G$$0 \leq \theta_i < 2\pi$
2. 由于具有无限的阶数，所以包含的门的至少一个值是的无理倍数，或者包含任意好的近似值的无理倍数。让我们指定一个这样的门。ģ ģ θ ķ π π $G$$G$$\theta_k$$\pi$$\pi$$g$
3. 然后存在一个，使得任意接近但不等于恒等式。Ñ 克$n$$g^n$
4. 由于是单一的，因此可以写为。g n exp （− i H $g^n$$\exp(-iH)$
5. 由于Quant-ph / 9802007中定义的Pauli组构成了矩阵的基础，因此可以写成，其中对于（由[3]表示）的和，其中至少一个不等于零。$d \times d$$H = \sum_{j,k = 0}^{d-1}\alpha_{jk} X_d^j Z_d^k$$\alpha_{jk} \in \mathbb{C}$$|\alpha_{jk}|\leq \epsilon$$\epsilon > 0$$\alpha_{ab}$
6. 然后，我们可以从Clifford组中选择一个元素该元素在共轭下将映射到。因此，其中仅仅是一个排列和。$C$$X_d^j Z_d^k$$Z_d$$C g^n C^\dagger = \exp(-iCHC^\dagger) = \exp(-i(\alpha_{ab}Z_d + \sum_{(j, k) \neq (a,b)} \alpha'_{jk} X_d^j Z_d^k))$$\alpha'$$\alpha$$\alpha_{ab} = \alpha'_{01}$
7. 注意，满足。让我们定义。$Z_d$$Z_d (X_d^u Z_d^v) = \omega^{u} (X_d^u Z_d^v) Z_d$$g_\ell = Z_d^{-\ell} C g^n C^\dagger Z_d^{\ell} = \exp(-i(\alpha_{ab}Z_d + \sum_{(j, k) \neq (a,b)} \omega^{j\ell} \alpha'_{jk} X_d^j Z_d^k))$
8. 根据Baker-Cambel-Hausdorff定理，由于所有都被任意逼近于恒等式，我们可以将的乘积评估为。总结所有的统一路径，对于得出。这基本上是一个解耦序列解耦非对角元素。$\alpha$$g' = g_1 \times ... \times g_d$$\exp(-i(d\times(\sum_{k} \alpha_{0k} Z^k) + (\sum_{\ell = 1}^d \omega^d)\times\sum_{j \neq 0}\sum_k \alpha_{jk}X_d^j Z_d^k))$$d>1$$g' = \exp(-i(d\times(\sum_{k\neq b} \alpha_{0k} Z^k))$
9. 由于仅对角矩阵保留在指数中，因此必须是对角线。此外，由于对的限制，它必然具有非零但与成比例的特征值。$g'$$\alpha'$$\epsilon$
10. 通过改变并重复上述过程，应该有可能生成线性独立的门：，这样它们的乘积将导致对角门具有不合理和不相称的相位，或者任意近似地近似到一个。$\epsilon$$d$$g'_1 ... g'_d$
11. 通过参考马克霍华德的回答这个问题给出了与祈福集团一起，应该能满足近似普遍性。

我相信原始问题的答案可能是肯定的，但是不幸的是，我不能确切地说。但是，我可以帮助回答Peter的扩展问题。

在Nebe，Rains和Sloane撰写的math / 0001038中，他们表明Clifford群是U（2 ^ n）的最大有限子群。Solovay在未发表的著作中也证明了这一点，该著作“实质上使用了有限简单组的分类”。Nebe等。论文还表明，使用有限群的分类，qudit Clifford群是素数p的最大有限子群。这意味着Clifford群加上任何门都是一个无限群，这使得原始问题的假设之一成为多余。

现在，Rains和Solovay都告诉我，下一步表明包含Clifford群的无限群是普遍的，这相对简单。但是，我不知道该步骤实际上是如何工作的。对于原始问题更重要的是，我不知道他们是在考虑qubit情况还是在qudit情况。

实际上，我可能会补充一点，我也不了解Nebe，Rains和Sloane的证据，但我想理解。

我不清楚您是要询问SU（3）还是SU（3）作用于Qudits的张量积。我假设您正在询问SU（3）。我不清楚（尽管我在上一版本的回答中说过）SU（3）的语句隐含SU（3）的语句。ñ$^{n}$$^n$

只要门的集合不位于SU（3）的子组中，它将生成SU（3）的密集覆盖。因此，您需要检查SU（3）的任何无限子组是否包含Clifford组。我相当确定他们没有，但是我不能肯定地说。这是一个数学溢出问题，给出SU（3）的所有Lie子组。

我以为应该在站点永久冻结之前更新此线程。

丹尼尔的答案是正确的。他提到的这一“下一步”出现在Nebe，Rains和Sloane的后继著作《自对偶代码和不变理论》中。

因此，该问题的答案为“是”-直接来自内比，雷恩斯和斯隆的书中推论6.8.2。

我感谢Vadym Kliuchnikov在我访问滑铁卢时向我指出了这一点。

我认为以下论文可能包含证明Qudit普遍性的相关构造

http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/39/11/010

特别是，在第4节末尾的评论中说，控制相C Z，傅立叶变换F和具有不合理和不相称相位的对角门D给出了近似的普遍性。（这对D是足够的条件，但我很确定这不是必要条件。）$4$$CZ$$F$$D$$D$

如果您的G格式正确（对角门似乎是很自然的选择），则结果适用$G$

一种替代方法是创建执行Qudit Toffoli所需的辅助状态，或者直接使用G和Cliffords来实现Toffoli。在不了解G的情况下很难说这是否有可能。$G$$G$