平均失真嵌入

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考虑两个度量空间和，和嵌入。传统度量空间嵌入将的质量作为原始距离与最终距离的最坏情况之比来测量： $(X, d)$ $(Y, f)$ $\mu : X \rightarrow Y$ $\mu$

ρ = max_{p, q \in X} {\frac{d (x, y)}{f (μ (x), μ (y))}, \frac{f (μ (x), μ (y))}{d (x, y)}}

$\rho = \max_{p,q \in X} \{ \frac{d(x,y)}{f(\mu(x), \mu(y))}, \frac{f(\mu(x), \mu(y))}{d(x,y)} \}$

不过，还有其他质量度量标准：Dhamdhere等人研究了“平均”失真：

σ = \frac{\sum d (x, y)}{\sum f (μ (x), μ (y))} .

$\sigma = \frac{\sum d(x,y)}{\sum f(\mu(x), \mu(y))}.$

但是，我在这里感兴趣的度量是类似MDS的方法所使用的度量，它查看平均加法误差：

ε^{2} = \sum | d (x, y) - f (μ (x), μ (y)) |^{2}

$\varepsilon^2 = \sum | d(x,y) - f(\mu(x), \mu(y))|^2$

尽管类MDS方法在theoryCS社区之外进行了广泛的研究，但我只知道有一篇论文（由Dhamdhere等人进行过）研究了在这种情况下的优化，并且对于嵌入到行中的有限问题（ $Y = \mathbb{R}$ ）（边注：TASOS Sidiropoulos' 2005年硕士论文具有早期工作的好的评论）

在这种错误观念下，人们是否意识到关于严格质量分析的最新工作？虽然这些问题通常很难解决，但我更感兴趣的是任何近似值。

approximation-algorithms cg.comp-geom embeddings

— 苏雷什·文卡特（Suresh Venkat）
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这是一个很好的问题。我不知道近似算法，但是已知的近似最小失真的硬度结果（以及相关的问题，例如度量标签）也应该表明很难近似。 $\epsilon^2$

原因是它们减少了NP难题，因此在是的情况下，对于至少恒定的边缘部分，失真为，在否的情况下，失真为。因此，在YES的情况下将是一个因素比在任何情况下要小。有关详细信息，请参见例如Khot-Saket的论文：www.cs.cmu.edu/~rsaket/pubs/approx.pdf $O(1)$ $\Omega(k)$ $\epsilon^2$ $k$

我不确定从他们的论文中得出哪个硬度因子，但是应该不难发现。（我想至少应该遵循度量标签的因子。） $\log^c(n)$

— 莫里兹
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这是一个好建议。我一定会研究指标标注工作。众所周知，即使嵌入到该行中也是MAX SNP很难的，但是看到更强大的结果将很有趣（尽管令人失望）。

— Suresh Venkat 2010年

2

我可能会丢失一些东西，但是为什么呢？我们对加法逼近感兴趣，因此我们无法缩放以使所有都使对吗？ $\epsilon^2 \le (\rho-1)\sum d(x,y)^2$ $f(\mu(x), \mu(y)) \ge d(x,y)$ $x,y$

这里的一个优势是，我们在短长度上可能会做得不好，最终会没事。另外，如果说我们要嵌入，问题是否容易（甚至近似）？（我们可以编写数学程序来捕获问题吗？） $\ell_2$

— 阿迪亚
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好点子。我改变了答案。

— 莫里茨2010年

这取决于配方。如果您提出的问题是使固定维目标子空间的最小化，那么等级约束会引起一些问题。如果您使用“ JL样式”公式（即纠正错误并找到正确的尺寸），则可能会可行。

ϵ

$\epsilon$

— Suresh Venkat 2010年

可能对“竞争”有用。考虑嵌入的问题（我之前建议，但它的sqrt凌乱）。我们必须明确地旨在获得为嵌入（在模糊的意义上，这意味着我们对于大多数乘以乘以。例如，（常数度）扩展器（或证明这是不可能的？）

S := \sum d (x, y)^{2}

$S:= \sum d(x,y)^2$

ℓ_{1}

$\ell_1$

ℓ_{2}

$\ell_2$

ϵ^{2}

$\epsilon^2$

o (S)

$o(S)$

(1 + o (1))

$(1+o(1))$

x, y

$x,y$

— aditya 2010年