从类别理论的角度看常规语言

我注意到字母表上的常规语言可以自然地看作是一个姿势，甚至是一个格子。此外，串联与空语言一起在此类别上定义了严格的单项式结构，该结构通过连接进行分配（我不确定是否满足）。这在常规语言的理论或实践中是否有用？是否有一些不错的附加条件，例如我们可以将Kleene星定义为一个吗？$\Sigma$$\epsilon$

这是在Coursera的“编译器”课程中提出的一个问题的副本：https ://class.coursera.org/compilers/forum/thread ? thread_id = 311

将类别理论应用于常规语言和自动机已经做了很多工作。一个起点是最近的论文：

• Bart Jacobs 对确定性自动机，正则表达式和语言的双耳复习
• 詹姆士·沃辛顿（James Worthington）对自动机和形式语言理论的双双方法。

在这些论文的第一篇中，正则表达式的结构是代数处理的，生成的语言是代数处理的。这两个视图集成在双代数设置中。双代数是一个具有适当分布律的代数-双代数对，它捕获句法项（正则表达式）和计算行为（生成的语言）之间的相互作用。本文的基础是代数和余数，计算机科学在通用代数和余数的保护下处理了代数和余数，而不是在数学（组等）中看到的东西。

第二篇论文使用的技术来自对代数（模块等）和余数的更传统的数学处理，但恐怕我不知道细节。

据我所知，这两个星都未将克莱恩星视作附属。

更一般而言，有很多工作将类别理论应用于自动机而不是正则表达式。这项工作的样本包括：

• Bloom SL; Sabadini N .；Walters RFC 矩阵，机器和行为。应用分类结构，第4卷，第4号，1996年12月，第343-360（18）页

• 迈克尔·阿尔比（Michael A. Arbib），欧内斯特·G·马内斯（Ernest G. Manes）：分类学家对自动机和系统的看法。类别理论在计算和控制中的应用1974：51-64

• MA Arbib和EG Manes。伴随机器，状态行为机器和对偶性。Journal of Pure and Applied Algebra，6：313-344，1975。

• MA Arbib和EG Manes。类别中的机器。Journal of Pure and Applied Algebra，19：9-20，1980。
• 吉日阿达梅克和VeraTrnková的书 自动机和代数的分类，在注释中的指出。

最后，还有关于迭代理论的工作，即迭代理论： Stephen L. Bloom和ZoltánÉsik 的迭代过程的等式逻辑，着重于迭代（例如Kleene star），但从更一般的角度来看，常规语言只是属于理论的一件事。

实际上，我认为您正在寻找的是Kleene代数。请参阅Dexter Kozen的经典文章。他公理化了Kleene-star。我认为这是您感兴趣的第一步。

Kleene代数和正规事件的代数的完备性定理。 资讯与计算，1994年5月，110（2）：366-390。

那篇文章没有使用范畴论，而是给出了Kleene代数的等式公理化，其结构包括常规语言的结构。带有测试的Kleene代数可以看作是正则表达式的扩展，用于对具有循环和条件（但没有赋值）的简单程序进行建模。此扩展对于以纯代数方式推理这样的简单程序很有用。

关于Kleene代数的共代数理论，并带有检验。技术报告。康奈尔大学，2008年3月。

正如您所观察到的，常规语言形成具有附加结构的布尔代数。尼克·皮彭格（Nick Pippenger）从斯通二元性的角度研究了这种结构。

常规语言与石头二重性。尼古拉斯·皮蓬格（Nicholas Pippenger）。理论计算系统，1997：121-134。

语言识别的双重性方法近来备受关注，并已用于获得有关语言识别的新结果。

正规语言的对偶与方程理论。M.Gehrke，S.Grigorieff，J.-E。销。

使用类别理论的护目镜观察世界称为分类。有时它会产生非常好的和令人惊讶的结果。物理学家已经开始说，将一个群体视为一个单一元素的类人猿会产生很大的不同。我开始意识到，将monoid视为一个元素类别也简化了很多事情。（例如，一个简单的动作就是Set中的一个函子。此类事物形成了笛卡尔封闭的类别并构成了对象。因此，它们也具有lambda演算和直觉逻辑！）

您想对常规语言进行分类。我不知道它是否已经完成，或者已经完成并发现没有意思。我还没有看到任何关于它的文章。但是，常规语言的代数结构Kleene代数非常有趣。有关它们的文献很多。但是，在我看来，常规语言和有限自动机的理论遭受了对有限性的过早承诺。（有限的组很有趣而且很重要，但是您不希望“组”的定义一开始就局限于有限性。）因此，抛出有限性并更广泛地研究结构将很有用。

目前正在进行的最有趣的工作与Hoare定义的称为局部双态类的结构有关。已经发现并发Kleene代数就是它们的一个实例。 局部性Bimonoids和并发是一个积极的研究方向。