具有接受策略的布奇自动机

问题

让是Büchi自动，识别语言。我们假设具有以下意义上的接受策略：有一个函数，可用于对进行试运行。我们通过以下条件对此进行形式化： $A=\langle \Sigma, Q, q_0,F,\Delta\rangle$ $L\subseteq\Sigma^\omega$ $A$ $\sigma:\Sigma^*\to Q$ $A$

$\sigma(\epsilon)=q_0$
对于所有和 $u\in\Sigma^*$ $a\in\Sigma$ $(\sigma(u),a,\sigma(ua))\in\Delta$
对于所有，由驾驶运行被接受，即，序列在具有无限多个元素。 $w=a_0a_1a_2\dots\in L$ $\sigma$ $\sigma(\epsilon),\sigma(a_0),\sigma(a_0a_1),\sigma(a_0a_1a_2),\dots$ $F$

为了接受这些条件，可以接受其语言的任何单词，而不必猜测未来。 $A$

然后，根据对这些假设，是否可以仅通过消除跃迁来确定？换句话说，我们是否可以始终仅根据当前状态和字母来选择下一个转换？关于这个主题有参考吗？然后可以在co-Büchi自动机上，更普遍地在奇偶自动机上，问相同的问题。 $A$ $A$

什么是已知的

这是部分结果。

首先，我们可以将限制为具有相同残差的状态之间的不确定性选择。事实上，如果是从接受的语言，一个接受策略不能选择超过在某些时候，如果有。 $\sigma$ $L(q)$ $q$ $q_1$ $q_2$ $w\in L(q_2)\setminus L(q_1)$

请注意，其余的选择确实很重要，因此尽管有直觉，但这还不足以摆脱不确定性。这是因为可以无限期地在一个好的剩余词中保留无限词（即单词的剩余词在剩余词中），但由于没有看到无限多个比奇状态而拒绝该单词。这是问题的主要困难：无限运行可能是错误的，而在某个时刻没有犯任何致命的错误。

其次，如果问题解决，即所有字由接受。在这种情况下，我们可以将视为Büchi游戏，其中玩家I选择输入字母，而玩家II选择过渡。然后，我们可以使用Büchi游戏的位置确定性来提取Player II的位置策略。此参数甚至在奇偶校验自动机的更一般情况下也适用。这个问题的困难来自于某些单词不在的事实，在这种情况下，策略可以具有任何行为。 $L=\Sigma^\omega$ $A$ $A$ $L$ $\sigma$

第三，这是一个证明，在这种假设下，语言在确定性布奇语言中，由状态为的自动机见证。注意，这意味着，不能有任何 -regular语言，例如，如果，没有策略匹配条件可以存在。 $L$ $2^Q$ $L$ $\omega$ $L=(a+b)^*a^\omega$ $\sigma$

我们首先根据第一句话来限制过渡：我们可以做出的唯一选择不会影响剩余的语言。我们仅采用具有最大残差的继任者，因为存在，所以它们必须存在。 $\sigma$

然后，我们建立以下面的方式。是的子集自动机，但每布琪状态时间出现在组件，所有其他国家可以从组件中删除，我们再次从单身开始。然后，我们可以设置 $A'=\langle \Sigma, 2^Q, \{ q_0\},F',\Delta'\rangle$ $A'$ $A$ $q$ $\{ q\}$ $F'=\{\{ q\} : q\in F\}$ 。我们可以验证是的确定性Büchi自动机。 $A'$ $L$

最后，将第二和第三条评论放在一起，我们总是可以通过在游戏中对玩家II使用位置策略来获得有限的内存策略，其中玩家I选择字母，玩家II选择过渡如果接受，则接受则获胜。 $\sigma$ $A\times A'$ $A$ $A$ $A'$

— 丹尼斯
source

为（确定性）自动机删除过渡后写

。令

是

一个字。然后通过您的条件

是一个运行

且正在接受，因而

。相反地，任何接受运行

是特别用工运行的

，从而

A_{σ}

$A_\sigma$

w = w_{0} w_{1} \dots

$w=w_0w_1\cdots$

L

$L$

σ (w_{0}) σ (w_{0} w_{1}) \dots

$\sigma(w_0)\sigma(w_0w_1)\cdots$

A_{σ}

$A_\sigma$

L \subseteq L (A_{σ})

$L\subseteq L(A_\sigma)$

A_{σ}

$A_\sigma$

A

$A$

。

L (A_{σ}) \subseteq L

$L(A_\sigma)\subseteq L$

— 西尔万（Sylvain）

@Sylvain：删除了哪些过渡？

— 戴夫·克拉克

我假设您

称为自动机

仅限于策略

使用的过渡。问题是你没有任何保证

是确定的。例如假设

和

，则

是不确定性的。

A_{σ}

$A_\sigma$

A

$A$

σ

$\sigma$

A_{σ}

$A_\sigma$

σ (a) = σ (ϵ) = q_{0}

$\sigma(a)=\sigma(\epsilon)=q_0$

σ (a a) = q_{1}

$\sigma(aa)=q_1$

A_{σ}

$A_\sigma$

— 丹尼斯（Denis）

我还将它发布在mathOverflow上，在这里有以前工作的更多详细信息：mathoverflow.net/questions/97007/…，还好吗？

— 丹尼斯（Denis）

通常不允许交叉发布，除非在足够的时间后未收到答案。鉴于这个问题尚待解决，我将等几天。您可以删除其他帖子并在几天后将其打开。（另外，其他帖子也应链接到该帖子。）

— Dave Clarke 2012年

事实证明答案是否定的，可以在本文中找到一些反例。

— 丹尼斯
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thx更新，但是含糊！什么队？他们发布了吗？计划？你是怎么知道的他们是怎么找到它的？他们在寻找它的原因吗？这是理论上的好奇心还是与更大的问题或应用有关？等等

— vzn 2012年

有关更多详细信息，请参见此答案：cstheory.stackexchange.com/a/24918/8953

— Denis

-1

正如您所指出的，非确定性和确定性Buchi自动机接受不同的语言。Safra（在网络上搜索“ Safra的构造”）给出了Buchi自动机最著名的“确定性”。下面是其中一个文档：www.cs.cornell.edu/courses/cs686/2003sp/Handouts/safra.pdf 。该过程非常复杂，涉及将给定的Buchi自动机转换为确定性的Rabin自动机（具有“接受” F状态和“拒绝” G状态：\ sigma在G中仅具有有限的多个状态）。Safra的构造所涉及的不仅仅是简单地删除过渡和/或通常的子集构造。

— 苏迪普
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我知道这一点，这是关于Büchi自动机的一类特殊问题，即承认接受策略的那一类

σ

$\sigma$ 。我已经表明该类与确定性Büchi自动机类具有相同的功能，并且我描述了简化的确定性过程（在“已知”部分中）。可以推测的是，此类的确定过程要简单得多，该过程只是删除一些过渡。

— 丹尼斯2012年