12阶投影平面

目的：解决不存在12阶射影平面的猜想。

1989年，Lam在Cray上使用计算机搜索，证明不存在10阶投影平面。现在，经过短短几周的大规模蛮力搜索（加上灵巧的对称数学），就已经确定了魔方的上帝编号，在我看来，这个长期存在的开放问题可能可以实现。（此外，也许我们可以使用这种技术来解决数学上的基本问题。）我希望这个问题可以作为一个健全性检查。

通过将总问题大小减小到“仅” 2,217,093,120个不同的测试可以解决多维数据集，这些测试可以并行运行。

问题：

已经显示了几种不存在的特殊情况。是否有人知道，如果我们删除了这些内容并进行了详尽的搜索，问题的大小是否在多维数据集搜索的范围内？（也许有人希望知道这一点。）
这方面的任何部分信息？

编辑添加：我在这里在MathOverflow上问了这个问题。到目前为止，似乎没有从已知的部分结果中实现搜索空间的缩减。我仍然不知道总搜索空间的大小。

open-problem

— 亚伦·斯特林
source

您是否提到您提到的不存在的特殊情况的良好参考？还是仅针对12阶案例的一般参考/参考集？

— 丹尼尔·阿蓬

这看起来更适合MathOverflow。与理论计算机科学有很强的联系吗？（另一方面：给定整数n时，决定是否存在阶次n的射影平面有多难？多项式时间？NP难？更糟？）

— Jeffε10年

@JeffE，谢谢，我想知道是否应该在那儿问。我认为这可能是TCS在组合技术中的应用，但我并不认为这是“重要”的结果，只是一个高挂的果实，由于处理器速度和云计算的原因，现在可能会变得低挂。我不知道您的决定问题的答案。所以...我将等几天，然后发布到MO，并在此处链接。

— 亚伦·斯特林

我喜欢杰夫的改写。也许值得再提一个问题：）

— Suresh Venkat 2010年

我看到了计算机科学在组合学中的潜在应用，而不仅仅是理论计算机科学，它是（根据我自己的偏见）关于随着输入大小增长到无穷大而限制计算的行为。找到神的号码是一项令人印象深刻的技术成就，但是尚不清楚它是否需要任何算法洞察力，或者是否会对算法产生影响。（我希望在这一点上得到纠正。）

— Jeffε10年

Answers:

（评论多于答案：）

对于n的素数幂存在有限的投影平面，并且RH Bruck和H.Ryser定理排除了n的无限多个值，该定理被Chowla概括为块设计：

http://en.wikipedia.org/wiki/Bruck%E2%80%93Chowla%E2%80%93Ryser_theorem

如前所述，n = 10是通过计算机搜索解决的（不存在平面），因此Bruck-Ryser不排除的n的第一个值是n =12。但是，计算机工作似乎并没有给出新的见解，因为是否只有主要动力飞机。似乎需要新的数学方法来洞察通常仅存在主功率平面的普遍猜想。

— 约瑟夫·马尔科维奇
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有一个推测说，如果sigma（n）> 2n，则不存在阶数为n的有限投影平面（FPP），也不存在与其对应的完整的相互正交的拉丁方格（CMOLS）。其中sigma（n）表示n的正除数之和，包括n本身。实际上，当sigma（n）> 2n时，意味着n是一个丰富的数。存在的最小的数目是12。以下是1> n> 500的所有丰富数字：12，18，20，24，30，36，40，42，48，54，56，60，66，70，72，78，80，84， 88、90、96、100、102、104、108、112、114、120、126、132、138、140、144、150、156、160、162、168、174、176、180、186、190， 196、198、200、204、210、216、220、222、224、228、234、240、246、252、258、260、264、270、272、276、280、282、294、300、304， 306、308、312、318、320、324、330、336、340、342、348、350、352、354、360、364，

来自Muatazz Abdolhadi Bashir和Andrew Rajah的《关于12阶投影平面》

— 巴希尔
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