存在“着色矩阵”

编辑：现在有一个与此帖子相关的后续问题。

---

定义

令和为整数。我们使用符号。$c$$k$$[i] = \{1,2,...,i\}$

甲矩阵被说成是一个 -到-着色矩阵如果下式成立：$c \times c$$M = (m_{i,j})$$c$$k$

• 我们对所有有，$m_{i,j} \in [k]$$i, j \in [c]$
• 对于与和我们都有。$i,j,\ell \in [c]$$i \ne j$$j \ne \ell$$m_{i,j} \ne m_{j,\ell}$

如果存在c -to- k着色矩阵，则我们将写入。$c \leadsto k$$c$$k$

---

请注意，对角线元素无关。我们只对M的非对角线元素感兴趣$M$。

以下替代观点可能会有所帮助。令$R(M,\ell) = \{ m_{\ell,i} : i \ne \ell \}$是\ ell行中非对角元素的集合$\ell$，类似地，令$C(M,\ell) = \{ m_{i,\ell} : i \ne \ell \}$是\ ell列中非对角元素的集合$\ell$。现在$M$是一个$c$ -到- $k$着色矩阵当且仅当R（男，\ ELL）\ subseteq [K]，\四C（男，\ ELL）\ subseteq [K]，\四R（男，\ ELL）\封顶C（M，\ ell）= \ [c]中

$$R(M,\ell) \subseteq [k], \quad C(M,\ell) \subseteq [k], \quad R(M,\ell) \cap C(M,\ell) = \emptyset$$ 所有\ ell \ emptyset$\ell \in [c]$。也就是说，行$\ell$和列$\ell$必须由不同的元素组成（当然，对角线除外）。

尝试将解释为从到一种特殊的哈希函数可能有帮助，也可能没有帮助。$M$$[c]^2$$[k]$

例子

这是一个到着色矩阵：$6$$4$

$$\begin{bmatrix} -&2&2&1&1&1\\ 3&-&3&1&1&1\\ 4&4&-&1&1&1\\ 3&2&2&-&3&2\\ 4&2&2&4&-&2\\ 3&4&3&4&3&- \end{bmatrix}.$$

通常，对于任何我们都有例如，和。要看到这一点，我们可以使用以下构造（例如Naor＆Stockmeyer 1995）。$n \ge 2$

$${2n \choose n} \leadsto 2n.$$ $20 \leadsto 6$$6 \leadsto 4$

令，令。设是从到的所有个子集的集合的双射，即和对于所有。对于每个具有，任意选择$c = {2n \choose n}$$k = 2n$$f$$[c]$$n$$[2n]$$f(i) \subseteq [2n]$$|f(i)| = n$$i$$i,j \in [c]$$i \ne j$

$$m_{i,j} \in f(i) \setminus f(j).$$

注意。可以很容易地验证该构造确实是一个着色矩阵。特别是，我们有和。$f(j) \setminus f(i) \ne \emptyset$$R(M,\ell) = f(\ell)$$C(M,\ell) = [k] \setminus f(\ell)$

题

以上构造是否最佳？换句话说，对于任何，我们是否有？

$${2n \choose n} + 1 \leadsto 2n$$ $n \ge 2$

众所周知，上述结构是渐近严格的。必然。例如，这是从Linial（1992）的结果或Ramsey理论的直接应用得出的。但是对我来说，尚不清楚构造是否也严格到常数。一些数值实验表明上述构造可能是最佳的。$k = \Omega(\log c)$

动机

这个问题与用于图形着色的快速分布式算法的存在有关。例如，假定给定一棵有向树（所有边都朝向根节点），并假定给定树的色。现在有一种分布式算法，当且仅当，才能在同步通信回合中计算树的适当着色。$c$$k$$1$$c \leadsto k$

在无法容纳的意义上，此构造是最佳的。确实，很容易看出，当且仅当存在集{1，…，k }的c个子集A ₁，…，A _c，使得没有明显的i和j满足A时，存在c -to- k着色矩阵。_我 ⊆ 甲_Ĵ。（对于“仅当”方向，将A _i = R（M，i）用作c -to- k着色矩阵$\binom{2n}{n}+1 \leadsto n$中号。对于“如果”的方向，集米_IJ ∈ 甲_我 ∖ 甲_Ĵ。）家族的电话机，其中没有包含另一个被称为Sperner家族，它是Sperner定理，在一个Sperner家族上的集的最大数量大小为k的宇宙为。这意味着。$\binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}$$c \leadsto k \iff c \le \binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}$

对于稍微紧的渐近线，可以证明：

如果，则$c \leadsto k$$c \leq 2^k$

假设使用种颜色对矩阵进行着色。现在，用矩阵包含的一组颜色为矩阵中的每一行着色。这使用子集为行着色。不同的行必须具有不同的颜色。否则，假设对于，行与行颜色相同。该装置的颜色存在于这两个行和在柱相抵触，我们才开始与着色的事实。因此$c \times c$$k$$[k]$$i \lt j$$i$$j$$(i,j)$$j$$j$$c \leq 2^k$