简化版纸牌游戏获胜者

我已经在MathOverflow中提出了这个问题，但没有任何令人满意的答案。

考虑以下两人游戏，它是称为Winner的纸牌游戏的简化形式。（以下表述摘自Guillaume Brunerie关于MathOverflow的评论。）

有两个玩家A和B。每个玩家都有一组纸牌（ $\{1,\dots,n\}$ ），两个玩家都可以看到。游戏的目的是摆脱自己的牌。第一个玩家玩桌上的任何纸牌，然后另一个玩家必须玩（严格）更大的纸牌，依此类推，直到其中一个玩家无法玩或决定通过。然后，桌上的纸牌被丢弃，另一位玩家再次玩任何纸牌（随后将有更大的纸牌）重新开始。依此类推，直到两个玩家之一用完纸牌赢得比赛。

我想知道球员的最佳策略（如果他能赢的话）。

正式定义

用表示游戏的配置，其中第一位玩家的卡组为，第二位玩家的卡组为，桌上最大的卡为，其中表示桌上没有卡片。我想给定来计算第一位玩家在配置是否有获胜策略的算法。 $w(i,A,B)$ $A$ $B$ $i$ $i=0$ $i,A,B$ $w(i,A,B)$

形式上，我希望有一种算法来计算定义如下的函数： $f$

令，。 $\mathbb{Z}_n = \left\{1, 2, \cdots, n\right\}$ $\mathrm{Bool} = \left\{\mathrm{False}, \mathrm{True}\right\}$

函数 $f:\;\left\{ 0, 1, \cdots, n \right\} \times 2^{\mathbb{Z}_n} \times 2^{\mathbb{Z}_n} \to \mathrm{Bool}$

其中

f (i, A, B) = {\begin{cases} F a l s e & B = \emptyset \\ T r u e & B \neq \emptyset \land \exists j \in A : j > i, f (j, B, A - {j}) = F a l s e \\ T r u e & B \neq \emptyset \land f (0, B, A) = F a l s e \\ F a l s e & otherwise \end{cases}

$f ( i, A, B ) = \begin{cases} \mathrm{False} & B = \emptyset \\ \mathrm{True} & B \ne \emptyset \land \exists j \in A: j > i, f(j, B, A - \left\{j\right\}) = \mathrm{False} \\ \mathrm{True} & B \ne \emptyset \land f(0, B, A) = \mathrm{False} \\ \mathrm{False} & \textrm{otherwise} \end{cases}$

错误的策略

以下是一些错误的策略：

始终打最小的牌。令，配置玩家A的获胜策略是打牌。如果玩家A玩纸牌1，他将输。 $n = 3, A = \{1,3\}, B = \{2\}$ $w(0, A, B)$ $3$
玩最小的卡，除非另一位玩家只有一张卡。这是比策略1更强大的策略，但这也是错误的。只考虑配置。如果玩家A使用策略2，他将输：，因此玩家A输了。 $w(0, \{1, 4, 6, 7\}, \{2, 3, 5, 8\})$ $1\rightarrow2\rightarrow4\rightarrow5\rightarrow6\rightarrow8\rightarrow\textrm{pass}\rightarrow3$

gt.game-theory card-games

— Yai0Phah
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这个问题很有趣，但是请尝试使其尽可能可读。例如，您不必逐字复制Guillaume Brunerie的评论，包括“我认为玩家应该知道的A”……这与您的问题中的假设不同，只会使读者感到困惑。另外，请考虑删除第三个表述的第一个表述：第二个表述提供了直观的理解，第三个表述给出了正式的定义，我认为第一个表述没有任何作用。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

可能最好的分析方法是编写一个程序，找出任何位置的最佳移动，并寻找形态。没有先验的理由，这个游戏应该有一个不错的策略。

— Peter Shor

我将从数量较少的策略开始，然后从那里开始。例如，如果每个玩家有2张牌，那么无论哪个玩家下一个回合，哪个拥有最高的纸牌获胜。他打出最高的牌，另一位玩家必须通过，然后他打出最后一张牌。

— 2012年

有人可以帮我重新描述GB的说明以遵循后记1吗？很抱歉我不是母语人士，而且描述这种复杂的游戏超出了我的能力范围。

— Yai0Phah 2012年

@Tsuyoshi：如果玩家A总是玩最小的牌，则玩家B获胜。如果玩家A玩纸牌1，并且并不总是玩最小的纸牌，则玩家A可以获胜。这意味着对于策略2总是获胜的情况，有一个较小的反例。

— Peter Shor 2012年

这可能应该是评论，但是太长了。

Jeff Kahn，Jeff Lagarias和Hans Witsenhausen研究了一个相关的游戏，该游戏的文章系列为Single-Suit Two-Person Card Play I，II，III和On Laskar的纸牌游戏。在他们研究的游戏中，每个玩家都有 $n$ 卡，发自 $2n$ 卡编号 $1$ $\ldots$ $2n$ 。每个把戏由两张牌组成，较高的牌将赢得该把戏，而获胜者将领先。目的是采取大多数技巧。

他们证明了有关最佳策略的许多有趣事实，但无法找到有效的最佳比赛算法，也无法证明它是NP难的。

对于每个人都尝试采取最少花样技巧的misère游戏，他们能够给出最佳策略。

在大多数情况下，这些结果是通过首先查看计算机程序的结果而获得的，该程序为小型实例找到了最佳策略，然后寻找模式来获得猜想，最后证明了这些猜想。我怀疑这对于OP的游戏也是一种富有成效的方法。

— 彼得·索尔
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