了解机制设计证明

我一直在努力研究有关拍卖理论的证明的技术细节：http : //users.eecs.northwestern.edu/~hartline/omd.pdf

具体来说，定理2.5：建立真实机制的必要条件和充分条件。

甚至更具体地讲，证明的前进方向，在第6页上给出。将真实值定义为，并将一般值（可能是错误的值）（例如出价）定义为，作者继续假定另外两个数量，和。$v_i$$b_i$$z_1$$z_2$

然后，他规定，，这将根据本文的先前工作得出不等式。 $v_i = z_1$$b_i = z_2$

他还规定，，根据本文先前的工作，会产生相似但不同的不等式。 $v_i = z_2$$b_i = z_1$

好吧，很公平 然后，他从另一个减去一个不等式，并在随后的代数的基础上继续得出他想要的结果。我不明白为什么这种减法是有道理的-他似乎是在基于完全不同的（实际上是相反的）假设减去两个不等式，每次我看到它时，我都会被猛烈地甩出思路。

我敢肯定，我还看过其他基本方法（Shoham和Leyton-Brown的书？我手头没有检查它），所以这似乎是一个普遍的想法，但我无法克服。谁能帮助我了解为什么这样有效，或向我解释我所缺少的内容吗？

（我试过假设3 values--真值，证明了期望的结果和两份标书，和 -得到他想要的结果，但也没那么它可能不仅是常见的，但是，有必要对按照作者的方式来做。但是我还是不明白。）$v_i$$b_1$$b_2$

更新： 我知道我曾在Shoham和Leyton-Brown的书中看到过类似的内容。它并不完全相同，但是非常相似，并且处理相同的方程式和主题。这是定理10.4.3的情况1。

从真实机制的上下文开始，他们首先假设真实和虚假并得出基于的支付小于或等于基于的支付，例如。然后，他们假设相反，即真实和错误，并得出相反的结果，即基于的支付少于基于的支付，例如。好的，那很有道理。 $v_i$$v_i'$$v_i$$v_i'$$P_i(v_i) \leq P_i(v_i')$$v_i'$$v_i$$v_i'$$v_i$$P_i(v_i') \leq P_i(v_i)$

然后，他们认为基于和的支付必须相等，就好像他们说和同时是真实的，甚至尽管它们不仅是不同的假设，而且是相反假设的结果。$v_i$$v_i'$$P_i(v_i) \leq P_i(v_i')$$P_i(v_i') \leq P_i(v_i)$

答案是该机制必须对每种可能的类型都是真实的：该机制无法提前知道哪些是真正的类型。因此，对于一对类型和，如果代理的真实类型为，则该机制必须是真实的：即，如果他出价他的效用必须大于他出价效用。但是，如果代理的真实类型为则该机制也必须是真实！毕竟，就机制而言，可能是这样！因此，在这种情况下，与相比，如果代理商对出价，则其效用必须更大。$v_i$$v_i'$$v_i$$v_i$$v_i'$$v_i'$$v_i'$$v_i$

关键是，真实性同时在同一机制上施加了许多不同的不平等：一个行为者可能对每种类型的行为，以及他可能考虑的每种偏差。他们所有人都持有。该证明仅使用了这些不等式中的两个

我认为您想要的是以下主张。

主张。 让$V$ 和 $A$被设置。让$f:V^n\to A$ 和 $p_1,\dots,p_n:V^n\to\mathbb{R}$。假设所有$i,x_i,y_i,v_{−i}$ 我们有

$$x_i (f(x_i , v_{−i})) − p_i (x_i , v_{−i}) \geq x_i (f(y_i , v_{−i})) − p_i (y_i , v_{−i}).$$ 然后所有人 $i,v_i,v'_i,v_{-i}$ 我们有 $$v_i(f(v_i,v_{-i}))-v_i(f(v'_i,v_{-i}))\geq v'_i(f(v_i,v_{-i}))-v'_i(f(v'_i,v_{-i})).$$

证明。 推杆$x_i=v_i$ 和 $y_i=v'_i$ 我们有

$$v_i (f(v_i , v_{−i})) − p_i (v_i , v_{−i}) \geq v_i (f(v'_i , v_{−i})) − p_i (v'_i , v_{−i}).$$ 推杆 $x_i=v_i$ 和 $y_i=v'_i$ 我们有 $$v'_i (f(v'_i , v_{−i})) − p_i (v'_i , v_{−i}) \geq v'_i (f(v_i , v_{−i})) − p_i (v_i , v_{−i}).$$ 通过添加这些不等式并重新排列来得出结果。

该命题的机制设计解释是，每个激励兼容（即策略证明，即真实）机制都具有“弱单调性”。

由于某些原因，通常是通过引用真实的出价和谎言来争论。在这种情况下，“ true”和“ lie”只是变量名，例如“ x”和“ y”。可以使用相同的名称在不同的参数中引用不同的事物，因为真实的出价和谎言之间没有形式上的区别。