线性独立傅立叶系数

向量空间的基本属性是维数为的向量空间的特征在于线性独立的线性约束-也就是说，存在线性独立的矢量与正交。$V \subseteq \mathbb{F}_2^n$$n-d$$d$$d$$w_1, \ldots, w_d \in \mathbb{F}_2^n$$V$

从傅立叶角度来看，这等同于说，指示符函数的已线性独立的非零的傅立叶系数。注意具有个非零傅立叶系数，但是其中只有个是线性独立的。$1_V$$V$$d$ $1_V$$2^d$$d$

我正在寻找向量空间的此属性的近似版本。具体来说，我正在寻找以下形式的声明：

令的大小为。然后，指示符函数具有至多线性独立的傅立叶系数，其绝对值至少为\ varepsilon。$S \subseteq \mathbb{F}_2^n$$2^{n-d}$$1_S$$d\cdot\log(1/\varepsilon)$ $\varepsilon$

可以从“结构与随机性”的角度看待这个问题-直觉上，这样的主张说，每个大集合都可以分解为向量空间和小偏置集合的总和。众所周知，每个函数都可以分解为“线性部分”，其中线性部分具有大傅立叶系数和具有较小偏差的“伪随机部分”。我的问题是，线性部分是否仅具有对数个线性独立的傅立叶系数。$f:\mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2$$\mathrm{poly}(1/\varepsilon)$

以下不是反例吗？

令是x 1，… ，x 1 / ϵ 2的多数，这是一组大小为2 n / 2的指标，因此d = 1。然而，˚F（{ 我} ）= Θ （ε ）为1 ≤ 我≤ 1 / ε 2，所以你有1 / ε $f(x)$$x_1, \ldots, x_{1/\epsilon^2}$$2^n/2$$d = 1$$\hat{f}(\{i\}) = \Theta(\epsilon)$$1 \le i \le 1/\epsilon^2$$1/\epsilon^2$ 线性独立的大傅立叶系数。

也许您想要有时被称为“ Chang的引理”或“ Talagrand的引理” ...在这里被称为“ Level-1不等式”：http ://analysisofbooleanfunctions.org/?p=885

这意味着，如果具有平均2 - d然后其平方至少为线性无关的傅立叶系数的个数γ 2 - d是至多Ô （d / γ 2）。（这是因为输入上的F 2线性变换不会改变均值，因此您始终可以将线性独立的傅立叶字符移动到1级。）$1_S$$2^{-d}$$\gamma 2^{-d}$$O(d/\gamma^2)$$F_2$