独特可解决难题（USP）的容量

Cohn，Kleinberg，Szegedy和Umans 在其关于矩阵乘法的群论算法的开创性论文中，引入了独特可解决难题（定义如下）和USP能力的概念。他们声称，Coppersmith和Winograd在他们自己的开创性论文《通过算术级数的矩阵乘法》中，“暗中”证明了USP容量为。在其他几个地方（包括cstheory上的其他地方）都重申了这一主张，但找不到任何解释。以下是我自己对Coppersmith和Winograd所能证明的事实以及为什么还不够的理解。 $3/2^{2/3}$

USP容量是否为是真的吗？如果是这样，是否有证明的参考？ $3/2^{2/3}$

可独特解决的难题

长度为且宽度为的唯一可解决难题（USP）由大小为的的子集组成，我们也将其视为 “件”的三个集合（对应于向量为的位置，它们为的位置以及它们为），满足以下属性。假设我们将所有装在行中。然后，必须有一种独特的方式来放置其他部分，即每行中的每种类型之一，以便它们“适合”。 $n$ $k$ $\{1,2,3\}^k$ $n$ $n$ $1$ $2$ $3$ $1$ $n$

令为宽度为的USP的最大长度。该USP容量是在USP中，每个部分都必须是唯一的-这意味着没有两行在完全相同的位置中包含符号。这表明（经过简短的论证）因此。 $N(k)$ $k$

κ = sup_{k} N (k)^{1 / k} .

$\kappa = \sup_k N(k)^{1/k}.$

c \in {1, 2, 3}

$c \in \{1,2,3\}$

N (k) \leq \sum_{a + b + c = k} min {(\binom{k}{a}), (\binom{k}{b}), (\binom{k}{c})} \leq (\binom{k + 2}{2}) (\binom{k}{k / 3}),

$N(k) \leq \sum_{a+b+c=k} \min \left\{ \binom{k}{a}, \binom{k}{b}, \binom{k}{c} \right\} \leq \binom{k+2}{2} \binom{k}{k/3},$

κ \leq 3 / 2^{2 / 3}

$\kappa \leq 3/2^{2/3}$

示例（长度为且宽度为的USP ）：非示例为长度和宽度，其中和件可以用两种不同的方式排列： $4$ $4$

\begin{aligned} 1111 \\ 2131 \\ 1213 \\ 2233 \end{aligned}

$\begin{align*} 1111 \\ 2131 \\ 1213 \\ 2233 \end{align*}$

3

$3$

3

$3$

2

$2$

3

$3$

\begin{aligned} 123 & 132 \\ 231 & 321 \\ 312 & 213 \end{aligned}

$\begin{align*} 123 && 132 \\ 231 && 321 \\ 312 && 213 \end{align*}$

Coppersmith-Winograd拼图

长度为且宽度为的Coppersmith-Winograd拼图（CWP）由大小为的的子集组成，其中“个”是唯一的-对于任何两个和，（他们提出的内容有所不同。） $n$ $k$ $S$ $\{1,2,3\}^k$ $n$ $a \neq b \in S$ $c \in \{1,2,3\}$

{i \in [k] : a_{i} = c} \neq {i \in [k] : b_{i} = c} .

$\{ i \in [k] : a_i = c \} \neq \{ i \in [k] : b_i = c \}.$

每个USP都是CWP（如上所述），因此CWP容量满足。上面我们评论了。Coppersmith和Winograd使用一个复杂的论点表明。Strassen简化了他们的论点（请参阅代数复杂性理论）。我们在下面画一个简单的证明。 $\lambda$ $\lambda \geq \kappa$ $\lambda \leq 3/2^{2/3}$ $\lambda = 3/2^{2/3}$

给定，令由 s， s， s 各自包含的所有向量组成。对于，令由所有对，使得，然后输入。图中的每个独立集都是CWP。众所周知，每个图都有一组独立的大小（证明：以概率选择每个顶点，并从每个存活边缘中删除一个顶点）。就我们而言 $k$ $V$ $k/3$ $1$ $2$ $3$ $c \in \{1,2,3\}$ $E_c$ $a,b \in V$ $\{ i \in [k] : a_i = c \} = \{ i \in [k] : b_i = c \}$ $E = E_1 \cup E_2 \cup E_3$ $G = (V,E)$ $|V|^2/4|E|$ $|V|/2|E|$

| V | = (\binom{k}{k / 3}) (\binom{2 k / 3}{k / 3}), | E | \leq 3 | E_{1} | = \frac{3}{2} (\binom{k}{k / 3}) {(\binom{2 k / 3}{k / 3})}^{2} .

$|V| = \binom{k}{k/3} \binom{2k/3}{k/3}, \quad |E| \leq 3|E_1| = \frac{3}{2}\binom{k}{k/3} \binom{2k/3}{k/3}^2.$ 因此

\frac{| V |^{2}}{4 | E |} = \frac{1}{6} (\binom{k}{k / 3}) ⟹ λ \geq \frac{3}{2^{2 / 3}} .

$\frac{|V|^2}{4|E|} = \frac{1}{6} \binom{k}{k/3} \Longrightarrow \lambda \geq \frac{3}{2^{2/3}}.$

— Yuval Filmus
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有趣，但是这里有一个问题，或者这仅仅是对文学缺陷的断言？

— David Eppstein

问题是，USP容量是否为是否正确，如果是，那么在哪里可以找到证明。

3 / 2^{2 / 3}

$3/2^{2/3}$

— Yuval Filmus 2012年

像许多其他问题一样，这一问题的答案可以在史托斯的论文中找到。本地USP是CWP，其中1件，2件和3件可以装配在一起的唯一方法是，如果它们的结合位于。显然，本地USP是USP，[CKSU]的构造表明USP的容量是由本地USP实现的（我们将进行建设性的展示）。 $S$

Coppersmith和Winograd 在上构造了具有几乎两个方向的独立分布，具有以下两个属性：（1），（2）对于任何，使得的1个，的2个和的3个一起形成向量：如果则。 $S$ $2^V$ $\Pr[x \in S] = (|V|/2|E|)^{1-\epsilon}$ $x,y,z \in V$ $x$ $y$ $z$ $w \in V$ $x,y,z \in S$ $w \in S$

我们随机选择一个子集的根据分配，并为每个边，我们删除这两个顶点。预期的剩余顶点数大约为。结果集是局部USP：如果中存在其中的1个，的2个和的3个适合，形成，则，因此所有都从中删除。 $S$ $V$ $(x,y) \in E$ $x,y$ $(|V|^2/2|E|)^{1-\epsilon}$ $T$ $x,y,z \in T$ $x$ $y$ $z$ $w$ $x,y,z,w \in S$ $x,y,z$ $S$

— Yuval Filmus
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