没有低概率坐标的高概率事件

让 $X$ 是一个随机变量，值取 $\Sigma^n$ （对于一些大字母 $\Sigma$），它具有很高的熵-例如， $H(X) \ge (n- \delta)\cdot\log|\Sigma|$ 对于一个任意小的常数 $\delta$。让$E \subseteq \rm{Supp}(X)$ 在…的支持下成为一个事件 $X$ 这样 $\Pr[X \in E] \ge 1 - \varepsilon$，其中是任意小的常数。$\varepsilon$

我们说，一对是一个低概率坐标的如果。我们说一个字符串含有的低概率坐标如果是一个低概率的坐标一些。$(i,\sigma)$$E$$\Pr[X \in E | X_i = \sigma] \le \varepsilon$$x \in \Sigma^n$ $E$$(i, x_i)$$E$$i$

一般情况下，在某些字符串可能含有的低概率坐标。现在的问题是，我们总能找到一个大概率事件使得没有字符串包含的概率很低坐标（而不是）。$E$$E$$E' \subseteq E$$E'$$E'$$E$

谢谢！

这是对圆圆的回答的一个例子。对于一个反例，它足以确定适当的和显示任何大的子集必须有一个低概率的统筹 -的概率很低统筹必然是一个低概率合作纵坐标。$X,E$$E'\subseteq E$$E$$E$$E'$

另外，我将忽略关于熵的条件-追加独立均匀分布的随机变量，以（并考虑到）将会增加几乎达到而不会影响是否存在这样的（尽管我没有仔细研究）。$N$$X$$E$$E\times \Sigma^N$$H(X)/(n+N)\log|\Sigma|$$1$$E'$

这是例子。令为的随机元素，以使每个汉明权重为向量（即形式为向量）的概率为，而全部向量概率为。令为汉明权重为的向量的集合。$X$$\{0,1\}^n$$1$$0\dots 010\dots 0$$(1-\epsilon)/n$$1\dots 1$$\epsilon$$E$$1$

考虑一个子集，。如果不为空，则它包含汉明权重的向量，例如而不会失去一般性。但是，如果为，则小于约。$E'\subseteq E$$E'$$1$$100\dots 0$$\Pr[X \in E'|X_i=1]=\frac{(1-\epsilon)/n}{(1-\epsilon)/n + \epsilon}$$\epsilon$$n$$2/\epsilon^2$

与相比如何？如果可以为，那么我认为我们可以完成您想要的。令。注意，给定在下的概率质量。令表示分配给字符串的概率质量，使得第个坐标具有符号。$\epsilon$$n$$\epsilon$$O(1/\sqrt{n})$$B = \mbox{Supp}(X) - E$$B$$\epsilon$$X$$\lambda(i,\sigma)\epsilon$$B$$i$$\sigma$

假设是某些字符串的低概率坐标。令表示分配给这些字符串的概率质量。然后，根据定义，，表示该。我们可以丢弃这些低概率字符串，而仅使概率损失。质量。$(i,\sigma)$$E$$\delta(i,\sigma)$$\frac{\delta(i,\sigma)}{\delta(i,\sigma) + \lambda(i,\sigma)\epsilon} \leq \epsilon$$\delta(i,\sigma) \leq 2\lambda(i,\sigma)\epsilon^2$$\delta(i,\sigma)$$E$

继续为所有可能的不良问题进行此操作，最后我们最多仅丢弃。这使用了这样的事实：对于所有，。$(i,\sigma)$$\sum_{i,\sigma} \delta(i,\sigma) \leq \sum_{i} \sum_{\sigma} 2\lambda(i,\sigma)\epsilon^2 \leq 2\sum_{i} \epsilon^2 = 2n\epsilon^2$$i$$\sum_{\sigma} \lambda(i,\sigma) = 1$

如果您希望概率质量为，则必须为，或者就足够了。$E'$$1 -\gamma$$\epsilon$$\epsilon + 2n\epsilon^2 \leq \gamma$$\epsilon = O(\gamma/\sqrt{2n})$

目前，我尚不清楚是否可以摆脱对依赖。我会继续考虑。$n$