计算避免某些特征的网格着色

甲 -coloring的米× Ñ网格$k$$m \times n$是一个函数。甲破矩形在Ç是一个元组（我，我'，Ĵ ，Ĵ '）满足Ç （我，Ĵ ）= c ^ （我'，Ĵ ）= c ^ $C:[m] \times [n] \to [k]$$C$$(i,i',j,j')$ -也就是说，矩形的三个角正好是相同的颜色。$C(i,j) = C(i',j) = C(i,j') \ne C(i',j')$

我对以下问题感兴趣：

作为的函数，存在多少种k色（对于任何大小的网格）可以避免重复的行，重复的列和矩形的折断？$k$$k$

到目前为止，我知道答案是有限的，我可以证明的最佳上限是（请参见下文）。$k^{(1.5 k!)^2}$

我还要指出的是，这个问题与Gasarch在他的博客（和本文）中经常提到的问题不同。他想避免所有单色矩形，而我不介意单色矩形，这只是我要避免的“破碎”矩形。

动机是什么？在密码学中，我们考虑Alice（谁拥有）和Bob（谁拥有y）的问题，他们都为一个商定函数f学习了f （x ，y ），以使他们学习不超过f （x ，y ）。您可以自然地将f与二维表关联，因此可以关联网格着色。具有以下形式（但使用不同的表示法）的此类问题的特征：“ f仅当$x$$y$$f(x,y)$$f$$f(x,y)$$f$$f$$f$包含一个断开的矩形。”例如，请参见Kilian91和BeimelMalkinMicali99。

因此，在我正在研究的某些加密技术中出现了这个问题。就我的目的而言，只要知道有限数量的网格颜色就可以避免折断矩形和重复的行/列，就足够了。但是我认为组合问题本身很有趣，我认为应该有更好的界限。

最好结合我可以证明：定义和- [R （ķ ）= ķ ⋅ - [R （ķ - 1 ） ; 因此R （k ）= 1.5 k ！。首先，可以证明如果C为至少R （k ）的k着色$R(2)=3$$R(k) = k \cdot R(k-1)$$R(k) = 1.5 k!$$C$$k$$R(k)$行，那么它要么是重复的行，要么是断了的矩形。相对于列，可以对称地显示相同的内容。（根据关于颜色＃的鸽子洞原理，证明是非常基本的。）由此我们知道，我们关心的所有颜色的尺寸都小于，我们可以得到一个k R （k ）2这样的着色的上限非常宽松。$R(k) \times R(k)$$k^{R(k)^2}$

我认为这可以通过两种方式进行改进：首先，我认为的最优值是2 ķ - 1 + 1。以下是一个（递归定义的）着色族，其中C k是大小为2 k − 1 × 2 k − 1的k着色，可避免这些禁止的特征：$R(k)$$2^{k-1}+1$$C_k$$k$$2^{k-1} \times 2^{k-1}$

$\qquad C_1 = [1]; \qquad C_k = \left[ \begin{array}{ccc|ccc} k & \cdots & k & \\ \vdots & \ddots & \vdots & & C_{k-1} \\ k & \cdots & k & \\ \hline & & & k & \cdots & k \\ & C_{k-1} & & \vdots & \ddots & \vdots \\ & & & k & \cdots & k \end{array} \right].$

我相信这些是避免这些禁止结构的最大色。$k$

其次，即使可以改善上述的界限，我们仍然有一个事实，即k R （k ）2对于着色总数来说是非常粗糙的界限。这将计算所有可能的R （k ）× R （k ）网格着色，其中很大一部分可能具有禁止特征。$R(k)$$k^{R(k)^2}$$R(k) \times R(k)$

如果要固定（而不是对所有k都适用的渐近表达式/公式），一种方法可能是使用随机采样：重复选择一种随机颜色，检查它是否符合您的标准，并计算出多少试验成功。这样可以估算出符合标准的着色比例。可以将其转换为满足条件的颜色总数的粗略估计（只需乘以k m n即可）。$k$$k$$k^{mn}$

$\ge 1-2^{-100}$