均匀分布的点集上贪婪扳手的最长边长度

令为的个点的集合。对于任何，一 -spanner是一个无向图的欧几里得度量下加权，使得对于任意两点，，在最短距离，，最多是和之间的欧几里得距离的倍，（请注意，此定义可以轻松扩展到任意度量空间）。 $P$ $N$ $\mathbb{R}^d$ $t \geq 1$ $t$ $G=(P, E)$ $v$ $u$ $G$ $d(v, u)$ $t$ $v$ $u$ $|v u|$

考虑以下算法，其中和为输入： $P$ $t$

E = empty
for every pair of points (v, u) in ascending order under |vu|
    if the shortest path in (P, E) is more than t times |vu|
        add (v, u) to E
return E

该算法计算所谓的贪婪扳手（或路径贪婪扳手）。该图已经过大量研究：在实践和理论上都产生了非常好的扳手。

我对贪婪扳手中最长边的长度感兴趣，如果均匀分布在（d = 2的情况也很好）。我猜想此最大长度最多约为，可能有一些对数因子和。这个推测是由实验数据引起的。 $P$ $[0,1]^d$ $1 / \sqrt{N}$ $d$

我感兴趣的原因是，如果最长边的长度相对较短，我有一种算法可以快速计算贪婪的扳手。如果以上内容正确，则意味着我的算法适用于以上情况，因此在实践中可能很有用。

我发现一些论文分析了随机分布的点集上的边数和其他类型的扳手的程度，但没有分析最长边的长度。涉及的概率论似乎相当复杂，所以我希望自己尝试尝试之前能有所了解。

cg.comp-geom

— 亚历克斯·十·布林克
source

在我们的《贪婪的扳手的分布敏感构造》（ESA 2014接受）中，我们证明了以下几点（结合定理4和引理6）：

存在依赖于，使得对于每个，如果是正方形中随机且均匀且独立分布的一组点，并且足够大，则概率至少为，上的贪婪跨度的边长不超过。 $c_t$ $t$ $c > 0$ $P$ $\sqrt{n} \times \sqrt{n}$ $n$ $1 - n^c$ $t$ $P$ $c \cdot c_t \log n$

我们在上的相当大，但是我们有实验证据表明“正确”的边界是。 $c_t$ $\frac{1}{\sqrt[4]{t-1}} \cdot \frac{\log n}{\log \log n}$

— 亚历克斯·十·布林克
source