为什么对布尔函数进行傅立叶分析“有效”？

多年来，我已经习惯于使用离散傅立叶分析来证明许多TCS定理。Walsh-Fourier（Hadamard）变换几乎可用于TCS的每个子字段，包括属性测试，伪随机性，通信复杂性和量子计算。

虽然我很乐意在解决问题时使用布尔函数的傅里叶分析作为一种非常有用的工具，尽管我有很好的预感，但使用傅里叶分析的情况可能会产生一些不错的结果。我必须承认，我不太确定是什么使基础变更如此有用。

是否有人对傅里叶分析为什么在TCS研究中如此富有成果有直觉？为什么通过编写傅立叶展开并执行一些操作来解决这么多看似困难的问题？

注意：到目前为止，我的主要直觉（可能是微不足道的）是，我们对多项式的行为有很好的理解，并且傅立叶变换是将函数视为多线性多项式的自然方法。但是为什么要特别指定这个基地呢？在平价基础上有什么独特之处？

$f: \{0,1\}^n\to\mathbb{R}$$\sigma_w$$w\in\{0,1\}^n$$f(x)$$f(x+w)$。在许多TCS问题中，根本需要分析此类操作员对某些功能的影响。

现在，关键是傅立叶基础是同时对角化所有这些算子的基础，这使得对这些算子的分析更加简单。更一般而言，傅立叶基础使卷积算子对角线化，这也是许多这些问题的基础。因此，每当需要分析那些算子时，傅里叶分析就可能有效。

$f:G\to \mathbb{C}$$G$$\sigma_h$$h\in G$$f(x)$$f(x\cdot h)$

这可能是对此问题的另一种看法。

假设伪布尔函数是k有界的，则该函数的Walsh多项式表示可以分解为k个子函数。所有线性项都被收集到一个子函数中，所有成对交互都被收集到一个子函数中，然后是三向交互，依此类推。

这些子功能中的每个子功能都是“基本景观”，因此每个子功能都是拉普拉斯邻接矩阵（即汉明距离1邻域）的特征向量。每个子功能都有一个在所有基本景观中都可以找到的相应的“波动方程”。除了现在，有k个波动方程组合起作用。

了解了波动方程，就可以以相当精确的方式统计地表征相应的搜索空间。您可以计算任意（指数大）汉明球以及搜索空间的任意超平面的均值，方差和偏斜。

参见彼得·斯塔德勒（Peter Stadler）关于基本风景的作品。

安德鲁·萨顿（Andrew Sutton）和我（Darrell Whitley）致力于使用这些方法来理解和改进用于伪布尔优化的局部搜索算法。您可以使用Walsh多项式为本地搜索算法自动识别改进的动作。永远不需要随机枚举搜索空间的邻域。沃尔什（Walsh）分析可以直接告诉您改进措施的位置。

这个问题尚未找到一个很好的答案，因为它是一个相对年轻且活跃的研究领域。例如，Ingo Wegeners于1987年撰写的有关布尔函数的综合书籍中没有涉及任何主题（除了分析DFT的电路复杂性之外）。

一个简单的直觉或猜想是，似乎高阶的大傅立叶系数表明存在子功能，这些子功能必须考虑许多输入变量，因此需要许多门。即，傅立叶展开显然是定量测量布尔函数硬度的自然方法。尚未看到直接证明的事实，但认为它暗示了许多结果。例如，赫拉普琴科的下界可能与傅立叶系数有关。[1]

在广泛使用傅里叶分析的情况下，可以从EE或其他工程领域借用另一个粗略的类比。它通常用于EE过滤器/信号处理。傅立叶系数代表滤波器的特定“频带”。还有故事说，“噪声”似乎在特定的频率范围内表现出来，例如低或高。在CS中，“噪声”的比喻是“随机性”，但是从大量研究（例如[4]中达到一个里程碑）可以清楚地看出，随机性与复杂性基本相同。（在某些情况下，“熵”也会在相同的背景下出现。）即使在CS设置中，傅立叶分析似乎也适合研究“噪声”。[2]

投票/选择理论则是另一种直觉或图画。[2,3]分析布尔函数具有“投票”并影响结果的子组件是有帮助的。即投票分析是一种功能分解系统。这还利用了一些投票理论，该理论达到了数学分析的高度，并且显然早于布尔函数的许多傅立叶分析的使用。

同样，对称性的概念在傅立叶分析中似乎至关重要。函数越“对称”，则傅立叶系数抵消得越多，函数计算的越“简单”。但是，函数越“随机”，因此函数越复杂，则抵消的系数就越少。换句话说，对称性和简单性，反之，函数中的不对称性和复杂性似乎是以傅立叶分析可以测量的方式进行协调的。

[1] Bernasconi，Codenotti，Simon 对布尔函数进行傅立叶分析

[2] De Wolf 对布尔型立方体的傅立叶分析（2008）的简要介绍

[3] 关于 O'Donnell 分析布尔函数的一些主题

[4] Razborov和Rudich的自然证据