对称群表示法的应用

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受这个问题的启发，尤其是Or回答的最后一段，我有以下问题：

您知道对称群表示理论在TCS中的任何应用吗？

对称组是具有组运算组成的所有置换的组。的表示形式是从到可逆 ×复矩阵的一般线性组的同态。表示通过矩阵乘法作用于。的不可约表示是一个不留下不变的适当子空间的动作。有限群的不可约表示允许对非阿贝尔群进行傅立叶变换 $S_n$ $\{1, \ldots, n\}$ $S_n$ $S_n$ $n \times n$ $\mathbb{C}^n$ $S_n$ $\mathbb{C}^n$ 。该傅立叶变换在循环/阿贝尔群上具有离散傅立叶变换的一些优良特性。例如，卷积在傅立叶基础上变为逐点乘法。

对称组的表示理论可以很好地组合。每个不可约表示都对应于的整数分区。这种结构和/或对称组的傅立叶变换是否在TCS中找到了任何应用？ $S_n$ $n$

— 萨肖·尼科洛夫（Sasho Nikolov）
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另请参见对称组的应用程序，维基百科

— vzn 2012年

所有非常有趣的答案。我将很难选择一个接受。

— Sasho Nikolov 2012年

体面的纯理论介绍/概述，《年轻的Tableaux和对称群的表示》，作者Zhao

— vzn 2012年

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本文仅涉及quant-ph arXiv：使用 Janis Noetzel 的对称组表示理论来解决两方典型性。

— 泰森·威廉姆斯

Egner和Puschel进行的基于对称的矩阵分解使用元素和表示理论来进行有效的矩阵分解/分解/乘法。参见关于彼尔姆彼尔姆对称的S3.2。

S_{n}

$S_n$

— vzn 2012年

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这里还有其他一些例子。

Diaconis和Shahshahani（1981）研究了为了产生接近均匀的排列需要多少随机换位。他们证明了一个严格的阈值1/2 n log（n）+/- O（n）。用随机换位产生随机排列。
Kassabov（2005）证明，可以在对称群上建立有界度的展开器。对称群与扩张图。
Kuperberg，Lovett和Peled（2012）证明，存在少量排列均匀作用于k元组的排列。刚性组合结构的概率存在性。

— 沙迦·洛夫特（Shachar Lovett）
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3

感谢Shachar，欢迎您访问cstheory！我冒昧地修复了您的链接：它们有些不匹配

— Sasho Nikolov 2012年

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一个很好的问题。我不知道完整的答案，我想自己知道。但是，您可能会发现以下有趣的事情。如果代替组，我们考虑其0-Hecke单面体，则它具有特定类的整数矩阵的表示形式，该矩阵通过热带 -乘法起作用。通过类网格图中的多源最短路径，这在字符串学中有许多有趣的应用。有关详细信息，请参阅我的技术报告： $S_n$ $H_0(S_n)$ $(\min,+)$

答：蒂斯金。半本地字符串比较：算法技术和应用程序。 http://arxiv.org/abs/0707.3619

— 亚历山大·提斯金
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谢谢！这看起来非常有趣，我一定会检查出来的。

— Sasho Nikolov 2012年

14

这是我知道的一个示例：

关于通信复杂性中的'对数秩'猜想''，R.Raz，B.Spieker，

Proceeding of the 34th FOCS, 1993, pp. 168-177
Combinatorica 15(4) (1995) pp. 567-588

我相信还有更多。

— 克里姆
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3

您能否总结一下表示模型及其应用方式？

— Vijay D

@VijayD也许Klim了解更多，但是这里的问题是函数的通信复杂度如何与其等级的对数有关（将视为实矩阵）。他们构造了一个等级的和CC。的秩是通过将其写为的常规表示形式的矩阵之和来计算的

f : {0, 1}^{n} \times {0, 1}^{n} \to {0, 1}

$f:\{0,1\}^n \times \{0, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}$

f

$f$

2^{d} \times 2^{d}

$2^d \times 2^d$

f

$f$

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$

Ω (n \log \log n)

$\Omega(n \log \log n)$

f

$f$

S_{n}

$S_n$

— Sasho Nikolov 2012年

实际上，我前一段时间读过这篇论文，所以现在我还不记得它。

— 克里姆（Klim）2012年

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这是量子计算的一个例子：

罗兰（Jeremie）；马丁·罗特勒；Magnin，Loïck；Ambainis，Andris（2011年），“量子态生成的对称辅助对手”，2011年IEEE第26届计算复杂性年度会议论文集，CCC '11，IEEE计算机协会，第167-177页，doi：10.1109 / CCC。 2011.24

他们表明，使用对称组的表示理论来构造最优对手矩阵以插入量子对手方法，称为索引擦除的某个问题的量子查询复杂度为。 $\Omega(\sqrt{n})$

— 罗宾·科塔里（Robin Kothari）
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《计算机程序设计艺术》的 Knuth第三卷致力于搜索和排序，并大量致力于组合和置换以及Robinson-Schensted-Knuth对应，这是对称组表示理论的核心。
Ellis-Friedgut-Pilpel和Ellis-Friedgut-Filmus有几篇论文使用上的谐波分析来解决极值组合问题。不太TCS，但很接近。 $S_n$
在上世纪90年代初期，Ajtai在模块化表示上取得了出色的结果，这是受计算复杂性问题的推动。我不记得详细信息或它是否已发布，但这值得仔细阅读！ $S_n$

— 吉·凯莱（Gil Kalai）
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谢谢吉尔！我相信您想到的Ajtaj论文之一就是eccc.hpi-web.de/eccc-reports/1994/TR94-015/index.html。我认为此应用是解决鸽洞原理的复杂性，但我还不太了解这种联系。

— Sasho Nikolov 2012年

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对称群无力进行强傅里叶采样（Moore，Russell和Schulman）

“我们证明了对称组上的隐藏子组问题不能通过强傅里叶采样有效地解决。这些结果适用于与图同构问题有关的特殊情况。”

与通过QM方法解决图同构问题有关

sec 5对称群的表示理论

— z
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5

统计信息比计算机科学更多，但仍然很有趣：在Diaconis的专着《概率与统计中的组Gepresentations》的第8章中，开发了与组相关的数据的频谱分析技术。这扩展了对时间序列数据的更经典的频谱分析，其中自然是实数或加法运算的整数。当通过排名给出数据时，将设为是有意义的。专着解释了排名数据的傅立叶系数。在那种情况下，数据集由稀疏的 $G$ $G$ $G$ $S_n$ $f:S_n \rightarrow \mathbb{R}^+$ 它将排名（通过排列）映射到偏好该排名的总体比例。

同样在同一章中，使用对称组和其他组的傅里叶分析得出ANOVA模型和检验。

自然的扩展将是用于统计问题的统计学习理论，该统计理论受益于表示理论技术，其排序方式类似于均匀分布下的二进制分类学习理论已受益于布尔立方体的傅立叶分析。

— 萨肖·尼科洛夫（Sasho Nikolov）
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但是，排名问题的自然群体结构是什么？

— Suresh Venkat 2012年

1

@Suresh我曾考虑过对称组，但是我的最后一段比其他任何事情都更加如意算盘。我在排序时想到了一个类似junta的问题：学习一个函数，该函数取决于少数几个样本中的几个元素的相对排序。也许傅立叶技术可以给出非平凡的样本界限

f : S_{n} \to {0, 1}

$f:S_n \rightarrow \{0, 1\}$

[n]

$[n]$

— Sasho Nikolov 2012年

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对称群的表示理论在“几何复杂度理论”方法中在行列式或矩阵乘法的下界上起关键作用。

Bürgisser和Ikenmeyer使用的表示理论证明了矩阵乘法的边界秩的下界。 $S_n$
关于的表示理论如何与行列式的下限相关联，请参见几何复杂度理论II：针对类别变体之间嵌入的显式障碍和几何复杂度理论VI：通过正定性进行的ﬂ $S_n$

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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Huangs博士论文，关于扰动的概率推理和学习：利用对称基团的结构分解。该应用程序是“基于摄像机的真实多人跟踪方案”。
Huang，Guestrin，Guibas 关于置换的傅立叶理论概率推论；机器学习研究杂志10（2009）997-1070。参见例如第二节。5.关于对称群的表示理论
另一篇多轨应用论文。Kondor，Howard，Jebara 的具有对称组表示的多对象跟踪（2007）
通过傅立叶系数， Irurozki，Calvo，Lozano 的方法学习排列的概率分布（CS / AI系）。参见第2节对称群上的傅立叶变换

— z
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1

我建议将此答案与其他学习排列参考相结合

— Sasho Nikolov 2012年

好的...合并...

— vzn 2012年

另请参见在部分排名数据的傅立叶分析中解释相位谱和对排名数据进行傅立叶分析的信号处理方法： Kakarala 相位的重要性，这似乎扩展了Diaconis的工作

— vzn 2012年

-1

对称群表示理论在 Klin和Pech 图的色多项式计算中的应用。

— z
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ps应用程序–图形着色

— vzn12

-2

Beals于1997年发表的这篇论文被高度引用，STOC似乎证明对称组上傅立叶变换的量子计算在BQP中，即量子多项式时间

— z
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2

同样，这与您引用的其他量子论文相吻合。开发非阿贝尔傅立叶变换的主要动机是用它来解决对称组上的隐藏子组问题。您引用的另一篇论文表明这种方法不能解决问题。

— Sasho Nikolov 2012年

顺便说一句：我在上述评论中的意思是建议将该答案与其他质量管理答案合并，并解释两者的相关性（因为它们是相互关联的）

— Sasho Nikolov 2012年

好的，Moore等人引用Beals，尽管那不是我找到Beals论文的方式。可能会在以后合并，但是现在某些观众似乎出于某种原因（旧的，被取代的等等？）都不喜欢Beals裁判

— vzn 2012年

我不确定，我认为这是一个不错的参考。对我来说，一个问题是您不解释为什么能够计算出非阿贝尔傅立叶变换很重要，它是如何被激发的。

— Sasho Nikolov

1

我希望答案独立存在并给予读者足够的线索，以便能够决定是否阅读全文。我希望答案不仅仅是对材料的肤浅理解。

— Sasho Nikolov 2012年

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一个较旧的例子，但仍在进行中/正在进行的研究中，这种理论中的一些出现在“完美混洗”的数学中，被视为对称群的元素，这在当时是一个著名的发现。[1]提到了完美混洗在并行处理算法中的应用，以及与Cooley-Tukey O（n log n）DFT的连接。[2]是最近的。完美的混洗表现在并行处理[3]，内存设计和排序网络中。

[1] Diaconis，Graham和Cantor所著的《完美混洗的数学》。1983年

[2] Ellis，Fan，Shallit（2002）提出的多路完美混洗置换的循环。

[3] 1971年，Stone提出了完美混洗的并行处理

[4] 基于完美改组的Omega网络

[5] 使用对合运算的并行和顺序就地置换和完美混排 Yang等（2012）

— z
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1

这些论文中使用了表示理论吗？

— Sasho Nikolov

似乎是其中的一个特例

— vzn 2012年

2

什么是特例？完美的洗牌是一种排列。我问，这些论文的证明中是否使用了表示论？我没找到。

— Sasho Nikolov 2012年

3

否则，存在（不完美）改组的概率模型，使用这些模型之一进行重复改组是对排列的随机游动。有时可以使用对称组的傅立叶分析来分析这种随机游走的混合时间：Shachar给出了一个随机换位随机播放的示例。您的参考文献很有趣，但是我没有看到与表示理论的任何关联：这些论文涉及一些确定性混洗（在[1]中有2个）和它们产生的排列组。该分析似乎是组合的

— Sasho Nikolov

不完美的混洗也很有趣，但答案的全部要点是完美混洗。看起来上述相同结果可能会被重现或通过表示理论进行验证，或者正在使用它的某些核心方面而没有明显/直接引用它。note shachars答案引用Diaconis，该答案的其中一篇论文的同一作者。换句话说，以上作者当然可以更好地回答您的问题，但我的期望是他们至少会在肯定的回答中回答……）...除了您只是将表示理论描述为您自己的问题中的“美丽组合”之外！

— vzn 2012年