线性时间原位浅滩混洗算法

是否存在线性时间就地浅滩混洗算法？这是一些特别灵巧的手能够执行的算法：均匀划分偶数大小的输入数组，然后交织两半的元素。

Mathworld上有一个关于浅滩混洗的简短页面。特别是，我对混洗类型感兴趣，该混洗类型将输入数组1 2 3 4 5 6转换为1 4 2 5 3 6。请注意，在其定义中，输入长度为$2n$。

如果我们有第二个大小为$n$或更大的数组，则可以在线性时间内直接执行此操作。首先将最后$n$元素复制到数组中。然后，假设为基础的0索引，复制所述第一$n$元件从索引$[0,1,2,...,n-1]$至$[0, 2, 4,...,2n-2]$。然后复制$n$从第二阵列回输入数组元素，映射索引$[0,1,2,...,n-1]$到$[1,3,5,...,2n-1]$。（我们可以做的工作比这少一点，因为输入中的第一个和最后一个元素不会移动。）

一种尝试就地执行此操作的方法包括将置换分解为不相交的循环，然后根据每个循环重新排列元素。同样，假设基于0的索引，则6元素情况下涉及的置换为

$$\sigma=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 2 & 4 & 1 & 3 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 & 4 &3 \end{pmatrix}.$$

正如预期的那样，第一个和最后一个元素是固定点，如果我们置换中间的四个元素，我们将获得预期的结果。

不幸的是，我对排列数学的理解（以及它们的）主要基于维基百科，我不知道是否可以在线性时间内完成。也许这种混洗所涉及的排列可以迅速分解？同样，我们甚至不需要完全分解。仅确定每个不相交周期的一个元素就足够了，因为我们可以从其一个元素中重建周期。也许需要一种完全不同的方法。$\LaTeX$

相关数学上的大量资源与算法一样有价值。谢谢！

问题出乎意料的是微不足道的。这是Ellis和Markov提出的一个很好的解决方案，它是通过Perfect Shuffle（第7节）进行就地稳定合并。Ellis，Krahn和Fan 在计算“完美随机排列 ”中的循环时，成功选择了“循环领导者”，但以更多的内存为代价。同样相关的是Fich，Munro和Poblete的论文《 Permuting In Place》，它为oracle模型提供了一种通用的时间算法。如果只有排列的预言可用，则该算法需要对数空间；否则，该算法将需要对数空间。如果我们也有一个反演的预言，它需要恒定的空间。$O(n\log n)$

现在为Ellis和Markov解决问题。首先，假设。然后，计算阶数为n的完美混叠可简化为计算阶数为x和y的完美混洗，并在它们之前进行旋转。下面是通过示例的证明（Ñ = 5，X = 3，ÿ = 2）： 012 345 $n = x+y$$n$$x$$y$$n=5$$x=3$$y=2$

$$\begin{array}{cc} 012\mathbf{345} & \mathbf{67}89 \\ 012\mathbf{567} & \mathbf{34}89 \\ 051627 & 3849 \end{array}$$

Ellis和Markov找到了一种简单的方法，可以在时使用恒定的空间和线性时间来计算完美的混洗。使用此方法，我们获得了一种用于计算任意n的完美混洗的算法。首先，使用n的二进制编码写n = 2 k 0 + ⋯ + 2 k w，然后让n i = 2 k i + ⋯ + 2 k w。旋转中间的n 0位，将右侧2 k随机播放$n=2^k$$n$$n = 2^{k_0} + \cdots + 2^{k_w}$$n$$n_i = 2^{k_i} + \cdots + 2^{k_w}$$n_0$位。忽略右边的2 k 0位，旋转中间的n1 t + 1 <nt/2。内部洗牌的总复杂度为O$2^{k_0}$$2^{k_0}$$n_1$位，然后将右侧的位洗牌。等等。请注意，旋转很容易，因为旋转的前几个元素充当循环引导者。旋转的总复杂度为O （n 0 + ⋯ + n w）= O （n ），因为n 2 k 0 + ⋯ $2^{k_1}$$O(n_0 + \cdots + n_w) = O(n)$$n_{t+1} < n_t/2$。$O(2^{k_0} + \cdots + 2^{k_w}) = O(n)$

剩下的内容将展示如何在n = 2时计算完美混洗。事实上，我们将能够识别周期的领导人，下面就项链（弗雷德里克森和Maiorana，经典作品的珠子项链 ķ颜色和 ķ进制德布鲁因序列;弗雷德里克森和凯斯勒，在两种颜色产生的珠子项链算法）。$n=2^k$$k$$k$

有什么联系？我声称随机排列对应于二进制表示的右移。这里是一个证明通过例如，对于： 000 001 010 011 100 101 110 111 000 100 001 101 010 110 011 111 因此，寻找周期领袖，我们需要找到一个代表超出每个等价类的旋转的长度为k的二进制字符串。上面提到的论文给出了以下用于生成所有循环前导的算法。从0 k开始$n=8$

$$\begin{array}{cccccccc} 000 & 001 & 010 & 011 & 100 & 101 & 110 & 111 \\ 000 & 100 & 001 & 101 & 010 & 110 & 011 & 111 \end{array}$$ $k$$0^k$。在每一步中，我们都处于某个位置。发现的最大索引我一个零位，除法的ķ通过我获得ķ = d ⋅ 我+ $a_1 \ldots a_k$$i$$k$$i$$k = d\cdot i + r$，让下面的点是。每当r = 0时，新字符串即为循环前导。$(a_1\ldots a_{i-1}1)^d a_1\ldots a_r$$r = 0$

例如，当这产生序列 0000，0001，0010 ，$n=16$

$$\mathbf{0000}, \mathbf{0001}, 0010, \mathbf{0011}, \mathbf{0101}, 0110, \mathbf{0111}, \mathbf{1111}.$$

周期负责人将突出显示。

这是cs.stackexchange.com上的一个播种问题，答案在这里：https ://cs.stackexchange.com/questions/332/in-place-algorithm-for-interleaving-an-array/400#400

这是对该文件的解释：http : //arxiv.org/abs/0805.1598。

$k$$2$$k$$3^2$$k=2$

请注意，该答案涉及排列 $j \to 2j \mod 2n+1$，（即Inshuffle）以及具有可以很容易地太解决这个问题（Outshuffle）。

$m$$n = m-2$$i$$f(i) = 2\cdot i$$i \leq n/2$$f(i) = 2 \cdot (i \mod n/2) - 1$$i > n/2$

$O(1)$$O(\log n)$