Nisan / Wigderson中的伪随机定义背后的动机是什么？

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我正在阅读尼桑（Nisan）和威格森（Wigderson）的经典著作《硬度与随机性》。令，并将函数。他们定义了一个函数族在大小为每个电路中都是伪随机的 $B=\{0,1\}$ $l\colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $G = \{G_n : B^{l(n)} \to B^n\}$ $n$ 我们已经

$(*) \ \ | P(C(x) = 1) - P(C(G(y))=1) | < 1/n$

（其中是统一随机变量）。 $x \in B^{n},y \in B^{l(n)}$

我知道我将和视为随机变量，并且我想将和之间的距离作为随机变量进行比较。我的直觉是，电路被用作某种“测试”，以查看是否可以将弄清楚。我真正挣扎的是为什么条件是正确的条件。是否有人对如何定义这个定义有任何建议？ $x$ $y$ $x$ $G(y)$ $G$ $(*)$

— 用户名
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— rphv 2012年

@rphv修复了它。

— Suresh Venkat 2012年

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有两个方面需要提到。

首先是通过使PRG的输出看起来不同于小型电路的定义来定义PRG的一般思想。这个想法可以回溯到Yao上，它实际上是在为有计算边界的观察者明确瞄准伪随机性时可能要求的最强定义。

第二个方面是参数的选择，其中我们将电路大小限制为，将接受概率差限制为，其中也是PRG输出大小。这种选择与通常的加密方式有所不同，后者的电路尺寸为并且要求概率差异要小于任何。在我们的情况下，特定参数（而不是 $n$ $1/n$ $n$ $poly(n)$ $poly(n)$ $poly(n)$ 为了获得最严格的结果，尤其是多项式仿真，需要使用）。虽然原则上可以有3个不同的参数，但事实证明，我们的结果使这些参数基本上以相同的方式工作，因此我们将它们折叠为一个参数（除了输入大小，它被视为是）。 $l(n)$ $n$

— 诺姆
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谢谢Noam的回答。这非常有帮助。

— user12484

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我绝不是专家，但是伪随机性定义（与尝试定义随机性相反）的关键组成部分是“伪随机性”的目的是欺骗电路。换句话说，动机是考虑将伪随机字符串而不是真正的随机字符串提供给电路。

从这个意义上讲，并不是您实际上要假装和 “看起来相同”。这是因为它们对电路 “具有相同的外观” （具有一定程度的复杂性）。 $x$ $G(y)$

因此，电路的作用至关重要，而不仅仅是“测试功能”。

— 苏雷什·文卡特（Suresh Venkat）
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希望我能对Suresh的回应稍作扩充。首先，我不认为不平等的严格性，需要在你的，我也不清楚为什么是必要的，而不是或别的东西。但是，实际上，我认为1 / n足以获得一些有趣的理论结果。 $(*)$ $1/n$ $1/2n$

但是然后您几乎肯定要断言每个在一定时间内都是可计算的，例如指数。此外，我认为您必须断言。您可以将视为种子长度。因此是伪随机如果它可以增加长度的随机串的比特数不受尺寸的电路被检测小于。 $G_i$ $l(n) < n$ $l(n)$ $G_i$ $l(n)$ $n$

— 乔纳森·加拉格尔
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