计算特征值的空间复杂度是多少？

我正在寻找涵盖普通线性代数运算的空间复杂度（例如矩阵等级，特征值计算等）结果的调查报告或书籍。我强调“空间复杂度”部分是指工作空间复杂度，而不是时间复杂度，因为它更容易跟踪时间结果。感谢您对此事的参考。

谢谢。

linear-algebra space-complexity

— 吉尔
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我的猜测是，复杂度始终最多是线性的（例如，对于

矩阵，为

）。您对“总空间”还是“工作空间”感兴趣？

O (n m)

$O(nm)$

n \times m

$n\times m$

— Yuval Filmus 2012年

我应该提到我对工作空间感兴趣。

— gil 2012年

我确定它是

矩阵的

。根本原因是我知道两种有用的方法来计算它们，并且它们在空间上都是平方的。首先是计算特征多项式（二次）并找到根。其次是使用一些近似方法，所有这些方法都需要存储修改后的矩阵（但是我无法详细说明，因为我研究数值线性代数已经有一段时间了）。

O (n^{2})

$\mathcal O(n^2)$

n \times n

$n\times n$

— 哟，

为了扩展@Yuval Filmus提出的观点，空间复杂度对特定的计算模型非常敏感。特别是，由于输出是线性大小，因此除非模型明确指定只写输出磁带，否则可以通过将输出磁带用作工作空间来发挥作用。为了避免出现此类问题，我很想改写为决策问题（例如，作为输入的三个矩阵，请检查第三个矩阵是否为前两个矩阵的乘积）。您能指定您想到的模型吗？（此外，我也不了解有关空间复杂性的书籍，也没有找到任何有用的调查。）

— AndrásSalamon 2012

关于@AndrásSalamon，因此对我有用的决策版本可以是：是第k个特征值大于q。对于整数k和有理数q。谢谢。

— gil 2013年

Answers:

关于整数（或有理数）的线性代数中许多常见问题的决策版本在类中，请参阅论文 $\mathsf{DET}$

Gerhard Buntrock，Carsten Damm，Ulrich Hertrampf，Christoph Meinel：Logspace-MOD类的结构和重要性。数学系统理论25（3）：223-237（1992）

包含在。 $\mathsf{DET}$ $\mathsf{DSPACE}(\log^2)$

计算特征值更加微妙：

1）在，可以计算特征多项式的系数。 $\mathsf{DSPACE}(\log^2)$

2）然后，您可以使用Reif和Neff的并行算法来计算特征值的近似值。该算法在对数时间以对数时间在CREW-PRAM上运行，并且具有许多处理器，因此可以在对数空间上进行仿真。（本文没有明确说明，但它们的PRAM应该是对数空间统一的。）所使用的空间在输入矩阵的大小和精度是多对数的。精度意味着您可以得到近似于的加性误差。 $p$ $p$ $2^{-p}$

这是可在对数空间中计算的函数的串联。（输出磁带是单向写入的。）

C. Andrew Neff，John H. Reif：复杂根问题的高效算法。J.复杂性12（2）：81-115（1996）

— 马库斯·布拉泽（MarkusBläser）
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最近，Ta-Shma [STOC 2013]表明，可以在量子对数空间中进行矩阵的光谱逼近。这样，频谱近似为DSPACE（与随机的硬币），我相信，实际上可以进行与随机的硬币，因为它只是相当于迭代矩阵乘法。 $log^2$ $NC^2$

— 利尔·埃尔达（Lior Eldar）
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