理论计算机科学中的复杂分析

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实际分析在理论计算机科学中有许多应用程序，包括属性测试，通信复杂性，PAC学习和许多其他研究领域。但是，我无法想到TCS中依赖复杂分析的任何结果（在量子计算之外，模型中固有的是复数）。有没有人有使用复杂分析的经典TCS结果的示例？

soft-question big-picture

1

好问题！我建议最好排除与数论有关的结果（例如，对黎曼假设的任何使用），而不是量子计算（据我所知），量子计算倾向于有限维系统。

— Colin McQuillan

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我们在论文“ Grothendieck常数严格小于Krivine的界限”中使用了复杂的分析，（从TCS的角度来看）它给出了关于最大化

\sum_{i, j} a_{i j} x_{i} y_{j}

$\sum_{i,j} a_{ij} x_i y_j$ 服从

的问题的近似算法。

x_{i}, y_{j} \in {\pm 1}

$x_i, y_j\in \{\pm 1\}$ 。参见ttic.uchicago.edu/~yury/papers/grothendieck-krivine.pdf

— Yury

3

@Yury很可能是一个答案。

— Suresh Venkat

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Barvinok基于复杂度的算法，用于近似永久多项式时间算法，以近似简单指数因子内的永久变量和混合判别式。

同样，显然，复杂的算子（以及一些复杂的分析）在量子计算中也很重要。

让我也推荐这本书：Eitan Bachmat 进行性能分析的主题，其中涉及许多重要的相关问题和其他重要内容。

— 吉·凯莱（Gil Kalai）
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这是一个很好的例子，我不知道这个结果-谢谢！

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这不是一个单一的问题，但是分析组合学的整个领域（请参见Flajolet和Sedgewick的书）探讨了如何通过写下适当的生成函数并分析结构来分析计数结构（甚至算法运行时间）的组合复杂性。复杂的解决方案。

— 苏雷什·文卡特（Suresh Venkat）
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您好Suresh，“分析复杂性”是什么意思？

— 安迪·德鲁克

2

啊，我写错了。我的意思是“分析结构的组合复杂性”-将会解决。

— Suresh Venkat

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乔恩·凯尔纳（Jon Kelner）的论文“有界属图的谱划分，特征值界和圆堆积”获得了2004年STOC最佳学生论文奖。

我只引用摘要：

作为我们的主要技术引理，我们证明了这类图的拉普拉斯算子第二最小特征值的O（g / n）界，并证明这是紧的，从而解决了Spielman和Teng的猜想。尽管该引理本质上是组合的，但它的证明来自连续数学，它借鉴了圆堆积理论和紧凑的黎曼曲面的几何形状。

使用复杂分析（以及其他“连续”数学）来解决“传统”图形分隔符问题令人难忘，这是即使我与研究完全无关的原因，这篇论文仍停留在我头上的主要原因。

— Mugizi Rwebangira
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我想您可能对直接用于证明的复杂分析更感兴趣。但是，这是我目前正在参加的研究生算法课程的两个示例：

a）快速傅立叶变换，例如用于多项式乘法。尽管可以使用模算术或浮点数（以及一些算术分析）来实现，但是最好从复数及其单位根的角度来理解该证明。我没有深入研究这个主题，但是我知道FFT具有广泛的应用。

b）通常，为RAM模型配备能够在恒定时间内处理复数的能力（实部和虚部仍然具有有限的精度）可以使人们巧妙地编码问题并利用可能揭示解决方案的复数的性质（请参见以及为什么不能让您更快的评论）。

— Chazisop
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你有第二个观察的例子吗？使用恒定时间操作将“复杂O（log n）位整数”类添加到标准RAM中是很简单的。或“更快”，您的意思是“快2倍”？

— Jeffε

这是一次演讲的练习：“假设您正在处理一个扩展RAM，该RAM可以用每个乘法，除法，加法和减法的单位成本来计算复数。此外，它还可以计算a的绝对值| c |。单位时间的复数c，此外，它“知道”复数常数0、1和i。证明在这样的扩展RAM上给定正整数n时，数n！可以用

时间。该解决方案使用多项式乘法，据我所知这比标准RAM模型要快。

O (\sqrt{n} \log^{2} n)

$O( \sqrt{n} \log ^{2} n)$

— chazisop

6

提出的算法需要恒定时间的无限精度实数算法。（您无法使用具有

位字的机器在

时间内计算

位整数，因为您甚至没有时间写下输出！）问题是要求您将平方根添加到实际的RAM模型中，而不是本身的复数。

Ω (n \log n)

$\Omega(n\log n)$

o (n)

$o(n)$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Jeffε

感谢您的评论，这很有启发性。我认为我应该将答案更新为仅用复杂数字巧妙地编码问题，即查看否则会错过的解决方案。

— chazisop

6

也许此应用程序介于TCS和Disc数学之间，但当我阅读Petr Savicky（http://www2.cs.cas.cz/~savicky/文件/symmetric.ps）。该定理仅涉及布尔函数，但是其中一种证明使用复数。

— 马格努斯寻找
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5

在我们的论文“ 近似线性阈值谓词 ”中，我们使用了来自复杂分析的柯西残差定理作为主要技术工具。

— 妇幼保健
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5

Koebe-Andreev-Thurston圆包装定理起源于Riemann映射定理，并具有多种算法方面。例如，它为平面图分配了Lipton-Tarjan分离定理的证明。

— 吉·凯莱（Gil Kalai）
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5

从烤箱新鲜：

用于有损种群恢复的多项式时间算法作者：Ankur Moitra，Michael Saks

引用本文的话：“在这里，我们将使用复杂分析中的工具来证明上一节中提到的不确定性原理。对于理解复杂平面中全纯函数的增长率，最有用的定理之一可能就是Hadamard的三圆定理。 ..”

— 吉·凯莱（Gil Kalai）
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让我快速概述一下本文中如何使用三圆定理。为了最小化满足某些线性约束的数量

，他们着眼于该LP的对偶。查看对偶变量作为多项式的系数，这成为相当于最大化

在所有程度

多边形

满足

，其中

是

由具有仿射变换和

σ

$\sigma$

p (0) - ϵ ‖ p ‖_{1}

$p(0) - \epsilon \|p\|_1$

n

$n$

p

$p$

‖ q ‖_{1} \leq 1

$\|q\|_1 \leq 1$

q

$q$

p

$p$

‖ \cdot ‖_{1}

$\|\cdot\|_1$ 表示系数的绝对值之和。

— 阿纳布

（续）现在，美丽的观察是

，其中

是在半径为1的复平面上的单位圆盘如果我们使用这种松弛，这个问题归结为最大化

受到

由定界

在较小的盘内

‖ p ‖_{1} \geq ‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}}

$\|p\|_1 \geq \|p\|_{sup}^{D_1}$

D_{1}

$D_1$

p (0) - ‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}}

$p(0) - \|p\|_{sup}^{D_1}$

p

$p$

1

$1$

D_{1}

$D_1$ 。进行坐标变换时，我们发现自己处于三圆定理的设置中：全纯函数以两个同心圆上的点为界，以该函数为中间半径的任何圆上的界。

— 阿纳布

（续）对于该问题，这意味着

如果

在

内的较小光盘上以

为界，则为

。（感谢Mike Saks所作的精彩演讲，解释了这篇论文。）

‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}} \geq | p (0) |^{Ω (1)}

$\|p\|_{sup}^{D_1} \geq |p(0)|^{\Omega(1)}$

p

$p$

1

$1$

D_{1}

$D_1$

— arnab 2013年

5

在本文中，我们使用复杂的分析，这使我们达克的算法的一个去随机化对第A.4 中的数据流估计（），其提供最佳空间保证： $\ell_p$ $0 < p < 2$

Daniel M. Kane，Jelani Nelson，David P. Woodruff。素描和流式处理小规范的精确空间复杂性。SODA 2010。

您可以写一个没有明确提及复杂分析的证明（请参阅我的网页上该论文的“注释”部分中的第一个项目符号），但是即使该证明也具有隐藏在后面的复杂分析。

— 耶拉尼·尼尔森（Jelani Nelson）
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4

Naor，Regev和Vidick在最近的一篇论文中使用了复数并进行了分析，得出了有关NP困难优化问题的近似算法的结果：http ://arxiv.org/abs/1210.7656

— 克莱门特C.
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丹尼尔·M·凯恩（Daniel M. Kane），库尔特·梅尔霍恩（Kurt Mehlhorn），托马斯·索尔瓦尔德（Thomas Sauerwald）和何Sun（He Sun）是另一篇利用团结的随机根源的论文。计数数据流中的任意子图。ICALP 2012

— Jelani尼尔森

3

$n + O(n/\sqrt{k})$ $k$ $n \times n$ $n!/n^n$ 由Laurent和Schrijver在MAA月刊中提供）。对于Gurvits的证明，离开复杂飞机的真实界限似乎很重要，并大大简化了事情。

— 萨肖·尼科洛夫（Sasho Nikolov）
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0

$z \leftarrow z^2 + c$

[1] 偏远，以及在计算中，几何不可判定，和动力系统朝木齐藤，邦彦金子

[2] 关于实数的计算和复杂性理论 Lenore Blum，1990年

— z
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0

$\mathbb{C}$

— 雷宾·卡宾
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