在超立方体上找到两组点之间最接近的对

鉴于的两个子集维超立方体（即，），我寻找以检索点的算法 ST的汉明距离（或在超立方体-distance）是最小的。仅检查每对的天真算法时间，还有更好的结果吗？ $d$ $M, N \subseteq \{0,1\}^d$ $m\in M, n\in N$ $L_1$ $d_H(m,n)$ $|M|\cdot |N| \cdot d$

为简单起见，我们可以假设。 $|M|=|N|=d$

cg.comp-geom

— 高清晰度媒体
source

嗯。还有其他动机/应用吗？怀疑有这种欧几里得/平面算法的多维类似物，但维基百科没有引用任何东西，也没有在其他地方听说过它。文章的开头似乎断言，对于更高维度

，可以用

求解，但未给出引用。也许在裁判的某个地方？

O (n \log n)

$O(n \log n)$

d > 2

$d>2$

— vzn

分而治之的论点依赖于包装界限。在更高的维度上，这在递归中引入了

因子，但是对

的依赖性保持不变。因此，如果您不介意

指数项，则可以使用此方法。如果您想要精确的东西，您将不可能做得更好。

2^{d}

$2^d$

n

$n$

d

$d$

— Suresh Venkat

另请参见最近的邻居搜索

— vzn

这似乎不太可能。考虑一下超立方体上的n + m个随机字符串。不知何故，每对的汉明距离大约为d / 2，您必须检查所有对以找到最接近的对。

— Sariel Har-Peled

@Sariel Har-Peled：正如Suresh所写，对于任何常数d，都可以在时间O（n log n）（其中n = max {| M |，| N |}）中解决。因此，“您必须检查所有对以找到最接近的对”对我来说听起来并不正确。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

Answers:

刚意识到您正在要求。那你可以做矩阵乘法，对吗？写是行矩阵，作为列矩阵，否定的条目，并且计算矩阵。显然，是之间的Hamming距离的第点和个的点 $|M|=|N|=d$ $M$ $X$ $N$ $Y$ $Y$ $Z=XY$ $z_{i,j}$ $i$ $M$ $j$ $N$ 。根据最后的突破，它的运行时间为（但是我有50,000页的手稿，显示了如何通过一种非常简单的算法在时间内进行矩阵乘法。 $O(d^{2.3727})$ $O(d^{2.3726999999})$

如果矩阵不是正方形，则可以获得类似的效果。我认为Uri Zwick在这种情况下有一篇有关快速矩阵乘法的论文。

从某种意义上说，这不太有趣-我们要避免使用项。项中的改进有点，嗯... $O(|M| * |N|)$ $d$

— 萨里尔·哈皮尔
source

很棒的发现。另一方面，我的一位同事找到了这篇论文：toc.cse.iitk.ac.in/articles/v008a014/v008a014.pdf，直到现在我才意识到它也是（也是）由您写的。Page 17+特别有趣

— 。.– HdM

是。看起来很熟悉-但请注意，这是近似值-Suresh要求提供确切结果...

— Sariel Har-Peled

-3

正如评论中所述，该问题通常与希尔伯特空间中的同一问题密切相关，并且算法几乎适用。这样的一个例子可以在本文中通过的Arya找到等人[1] P29其中作者基准使用布尔立方体和他们的Hilbert空间的最近邻算法范数。他们的算法适用于任何 Minkowski度量。正如您指出的那样（但维基百科似乎也没有，也没有很多其他参考文献），汉明距离度量等效于二进制坐标上的 Minkowski空间度量或“出租车”度量。他们的算法取 $L_\infty$ $L_m$ $L_1$ $O(dn \log n)$ 预处理时间（维）和对数“查询”时间（每点）。另请参阅[2] $d$

[1] 在固定尺寸下近似最近邻搜索的最佳算法 Arya等，30pp

[2] 在超立方体上搜索有效近邻，并将其应用于分子聚类 Cazals

— z
source

Arya等人证明的查询时间范围是

。任何微不足道的算法在超立方体上的效果都更好。他们在第29页认为，实验表明绑定过于悲观，但他们只能看着尺寸<= 16

Ω (d^{d})

$\Omega(d^d)$

— Sasho尼科洛夫