最小化多语言DFA

我对DFA的一般化感兴趣。像往常一样，我们有状态集，有限字母，由在定义的和初始状态；但是我们取一个的子集，而不是通常的终端集。然后，多语言DFA是元组 $Q$ $\Sigma$ $\Sigma^*$ $Q$ $\delta : Q\times\Sigma\rightarrow Q$ $q_0$ $(T_i)_{i\in 1..n}$ $Q$ $M$

$(Q, \Sigma, \delta, q_0, (T_i))$

并且可以通过 iff来某些。如果需要，将为M识别的语言族。 $L \subseteq \Sigma^*$ $M$ $L = \{s\in\Sigma^*|q_0s\in T_i\}$ $i\in 1..n$ $(L_i(M))_{i\in 1..n}$

好的，现在我的问题是：给定一族常规语言，我想找到如上所述的最小多语言DFA，使得为所有，即在所有这样的机器上最小化。我的问题是，是否有已知的有效方法可以执行此操作，也许类似于标准DFA最小化理论？相反，是否有任何证据表明这个问题可能很难解决？ $(L_i)_{i\in 1..n}$ $M$ $L_i = L_i(M)$ $i\in 1..n$ $|Q|$

automata-theory dfa

— gdmclellan
source

在我看来，标准分区的细化基于算法，仅修改由他们是否要接受/非接受每一个给定的子集的划分初始设置状态开始，而不是单一的一套，应该只是工作立即。为什么不呢？它仅在必须分割状态对时才对其进行分割，因此它仍会生成状态的最粗略细化。

T_{i}

$T_i$

T

$T$

— David Eppstein

如果您定义等价关系，则@DavidEppstein提供的评论证据很容易

x \sim y

$x\sim y$ iff

x \sim_{T_{i}} y

$x\sim_{T_i}y$ 每一个

i

$i$ ，在哪里

x \sim_{T_{i}} y

$x\sim_{T_i} y$ 是Myhill-Nerode等价关系。然后，您可以按照与标准最小化算法相同的步骤进行操作。

— Shaull

不太明白。是解决此问题的答案，找到具有相同“设置”的DFA联合的最小DFA，但最终状态不同，每个DFA用于

1.. n

$1..n$ ？也是承认的定义

L = {. . .}

$L=\{...\}$ 似乎没有什么意义，它似乎混淆了字符串和状态集。

— vzn

DavidEppstein和Shaull提出的观点令人信服，当我有时间说服自己商仍然产生最小的自动机时，我会花些时间讨论Myhill-Nerode定理。事后看来，这似乎太明显了。

— gdmclellan

@vzn：绝对不想将原始自动机的语言结合在一起；和

T_{i}

$T_i$ 可能会重叠。具有多种语言的多语言DFA

A

$A$ 和

B

$B$ 应该能够报告，例如，

s \in A

$s\in A$ ，但是

s \notin B

$s\notin B$ 。至于用于定义语言识别的符号，该符号是通过扩展

δ

$\delta$ 到

Σ^{*}

$\Sigma^*$ 动作

Q

$Q$ 遵循以下所有规则

q \in Q, σ \in Σ, s \in Σ^{*}

$q\in Q, \sigma\in\Sigma, s\in\Sigma^*$ ：

q σ = δ (q, σ), q (s σ) = (q s) σ

$q\sigma = \delta(q, \sigma), q(s\sigma) = (qs)\sigma$ 。

— gdmclellan

简短的回答。给定有限的常规语言族 $\mathcal{L} = (L_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ ，有一个识别此族的独特的最小确定性完整多自动机。

细节。案子 $n = 1$ 对应于标准结构，一般情况在精神上没有太大区别。给定一种语言 $L$ 还有一个字 $u$ ，让 $u^{-1}L = \{ v \in A^* \mid uv \in L \}$ 。定义等价关系 $\sim$ 上 $A^*$ 通过设置

u \sim v ⟺ for each L \in L, u^{- 1} L = v^{- 1} L

$u \sim v \iff \text{for each }L \in \mathcal{L},\ u^{-1}L = v^{-1}L$ 自从

L_{i}

$L_i$ 是规则的，这种全等具有有限的指数。此外，很容易看到每个

L_{i}

$L_i$ 被饱和

\sim

$\sim$ 而且每个

a \in A

$a \in A$ ，

u \sim v

$u \sim v$ 暗示

u a \sim v a

$ua \sim va$ 。让我们用

1

$1$ 空词和

[u]

$[u]$ 的

\sim

$\sim$ 单词的类

u

$u$ 。让

A_{L} = (Q, [1], \cdot, (F_{i})_{1 ⩽ i ⩽ n})

$\mathcal{A}_\mathcal{L} = (Q, [1], \cdot, (F_i)_{1 \leqslant i \leqslant n})$ 确定性多自动机，定义如下：

$Q = \{ [u] \mid u \in A^*\}$ ，
$[u] \cdot a = [ua]$ ，
$F_i = \{ [u] \mid u \in L_i\}$ 。

通过施工， $[1] \cdot u \in F_i$ 当且仅当 $u \in L_i$ 因此 $\mathcal{A}_\mathcal{L}$ 接受家人 $\mathcal{L}$ 。有待证明 $\mathcal{A}_\mathcal{L}$ 是最小的。在强代数意义上，它实际上是最小的（这意味着它具有最少的状态数）。让 $\mathcal{A} = (Q, q_-, \cdot, (F_i)_{1 \leqslant i \leqslant n})$ 和 $\mathcal{A}' = (Q', q'_-, \cdot, (F'_i)_{1 \leqslant i \leqslant n})$ 是两个多自动机。态射 $f: \mathcal{A} \to \mathcal{A}'$ 是来自的射影地图 $Q$ 到 $Q'$ 这样

$f(q_-) = q'_-$ ，
对于 $1 \leqslant i \leqslant n$ ， $f^{-1}(F'_i) = F_i$ ，
对所有人 $u \in A^*$ 和 $q \in Q$ ， $f(q \cdot u) = f(q) \cdot u$ 。

然后对于任何可访问的确定性多自动机 $\mathcal{A}$ 接受 $\mathcal{L}$ ，从 $\mathcal{A}$ 到 $\mathcal{A}_\mathcal{L}$ 。为了证明这一点，首先要验证 $q_- \cdot u_1 = q_- \cdot u_2 = q$ ，然后 $u_1 \sim u_2$ 。现在 $f$ 由定义 $f(q) = [u]$ 哪里 $u$ 是这样的词吗 $q_- \cdot u = q$ 。然后可以证明 $f$ 满足三个必需的属性。

最后有点粗略，如果您需要更多详细信息，请告诉我。

— J.-E. 销
source