具有固定数量的变量的整数编程

H. Lenstra在1983年发表的著名论文《具有固定数量的变量的整数编程》指出，具有固定数量的变量的整数程序可以在时间多项式中求解数据长度。

我的解释如下。

通常，整数编程仍然是NP完整的，但是如果我手头上典型的问题大小（例如大约10.000个变量，任意数量的约束）在实践中可行，那么我可以构建一种算法，该算法可以按多项式缩放约束数量，但不能变量和约束的数量。
该结果也适用于二进制编程，因为我可以通过添加适当的约束将任何整数强制为0-1。

我的解释正确吗？

这个结果有实际意义吗？也就是说，有没有可用的实现，或者它已用于CPLEX，Gurobi或Mosek等流行的求解器中？

本文引述如下：

出于我们的目的，此长度可以定义为n·m·log（a + 2），其中a表示A和b的系数的绝对值的最大值。实际上，由于所讨论的问题是NP完全问题，因此不可能存在这样的多项式算法

[...]

推测[5]，[10]，对于n的任何固定值，都存在一个用于求解整数线性规划问题的多项式算法。在本文中，我们通过展示这种算法来证明这一猜想。可以限制我们的算法运行时间的多项式次数是n的指数函数。

co.combinatorics linear-programming integer-programming

— 伯恩哈德·考斯勒
source

“我可以构建一种算法，该算法可以按约束或变量的数量进行多项式缩放，而不能按变量和约束的数量进行缩放。” 有趣的观点/问题-到目前为止，我们已经看到对于约束（保持固定的变量数）是正确的，但是询问是否对变量（保持固定的约束数）是否成立也很有趣。？凭直觉，感觉不应该如此，否则IP通常是多时的，但是我不确定。

— usul 2013年

Lenstra在论文的第4节中指出：“具有固定值m的整数线性规划问题可以多项式求解。” （m是约束的数量）这是主要结果的推论。这部分我不清楚。再考虑一下，也许他假设n和m固定；表示它是“ a”中的多项式（A和b的系数的绝对值的最大值）。（因此，我从上面的问题中删除了“或变量”部分）。

— 2013年

n

$n$

m

$m$

m

$m$

n

$n$

Answers:

$n$

$O(n^{2.5n+o(n)} \cdot L)$ $L$ $L$ $n$

因此，问题是通过变量数量对固定参数线性化。

1）是的，整数线性编程“仍”是NP完整的。以上理论结果的运行时间仅线性地取决于约束条件的数量，因此它在约束条件的数量上可以很好地缩放。但是我不知道该算法的实际实现。

2）是的，正如您观察到的那样，使变量采用二进制值非常简单。

$L$

O (2^{n} n m + 8^{n} n \sqrt{m \log m} \log m + n^{2.5 n + o (n)} s \log m)

$O(2^nnm + 8^n n \sqrt{m \log m} \log m + n^{2.5n+o(n)}s\log m)$

m

$m$

s

$s$

— 塞尔·加斯珀斯
source

嗯，感谢术语“固定参数线性”。这就是伦斯特拉的论文的目的。另请参见：en.wikipedia.org/wiki/Parameterized_complexity

— Bernhard Kausler，2013年

n

$n$

O (n 2^{n} m)

$O(n2^n m)$

T (n, m, s)

$T(n,m,s)$

n

$n$

m

$m$

s

$s$

O (2^{n} m + (\log m) T (n, f (n), s)

$O(2^n m + (\log m)T(n, f(n),s)$

O (s)

$O(s)$

f (n)

$f(n)$

n^{O (n)}

$n^{O(n)}$

这不会改变您答案的基本事实，但另一个相关的参考文献是KL Clarkson。当维数较小时，用于线性和整数编程的拉斯维加斯算法。J. ACM 42（2）：488-499，1995，doi：10.1145 / 201019.201036。

— David Eppstein

m

$m$

n

$n$

O (n^{2.5 n + o (n)} L)

$O(n^{2.5n+o(n)} L)$

T (n, f (n), s)

$T(n,f(n),s)$

f (n) = 4^{n}

$f(n)=4^n$

L = 4^{n} s

$L=4^n s$

f (n)

$f(n)$

O (2^{n} n m + n^{2.5 n + o (n)} (\log m) s)

$O(2^nnm+n^{2.5n+o(n)}(\log m) s)$

关于Lenstra类型结果的实际含义以及在CPLEX，Gurobi等中可能的实现，有两点。在大多数此类IP算法中，关键步骤之一是朝“好的”或“瘦的”方向发展，也就是说，多面体的宽度不会太大的超平面（变量和数据大小的多项式）。但是Mahajan和Ralphs（此处是预印本）表明，选择最佳分离的问题是NP完全的。因此，似乎很难创建此类算法的实际有效实现。

诸如CPLEX之类的软件包中实现的大多数算法都可以归类为分支剪切方法。这一系列技术通常在可行的IP实例上运行良好，并且通常能够找到接近最佳的解决方案。但是，Lenstra型算法的重点是无法开始的最坏情况IP实例，目的是证明其整数不可行（他们研究此任务的复杂性）。AFAIK，没有任何与实际相关的问题适合于此描述。因此，CPLEX / Gurobi人士可能不会很快实施Lenstra型算法。

— kbala
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