测试平面中的一组n点是否在o（nlogn）时间内形成凸n多边形

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假设您在平面中获得了一组n个点，并且要检查它们是否形成了一个凸n面，即它们是否都位于凸包上。我想知道是否有人知道如何在o（nlogn）时间内执行此操作，即不计算CH。

cg.comp-geom

— Babis Tsourakakis
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您可以在O（n log n）时间内计算凸包。您是说是否有可能在比这短的时间内完成操作？

— Per Vognsen

是的，我认为应该针对此问题采用一些线性时间算法。但我不知道如何

— 的Babis Tsourakakis

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他写的是o（nlogn）而不是O（nlogn），所以他的问题是正确的。

— 席瓦·金塔利

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我使用

— 小写

4

这让我有些皱眉，看不到表示要花费Θ（n log n）时间而没有明确说明正在使用哪种计算模型的数字（或笛卡尔点的同等凸包）排序。比较排序需要Θ（n log n）时间，但是比较模型甚至根本不计算船体。对于代数决策树，它们都仍然是Θ（n log n）时间（如公认的答案所示），但是在更类似于实际计算机的计算模型中，它们的速度更快。

— David Eppstein 2010年

Answers:

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至少在比较/代数树模型中，这似乎不太可能。首先定义：

$P$ $P$ $P$

$n$ $\Omega(n \log n)$ $n$ $X$

P = {(x, x^{2}) | x \in X} .

$P = \{ (x, x^2) | x \in X\}.$

如果存在重复数，则此重复数对应于可以写为其余点的凸组合的点。即，这些点不处于凸位置。

即，确定点集是否在凸位置上与确定唯一性一样困难。

— 萨里尔·哈皮德（Sariel Har-Peled）
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X [i]

$X[i]$

(X [i], X [i]^{2} + i / n^{2})

$(X[i], X[i]^2+i/n^2)$

1

@Babis：当不允许重复点时，Jeff的归约法有效。无论初始数组是什么，归约化生成的点都是唯一的。

— Vinayak Pathak

因此，当且仅当没有两个点具有相同的x坐标时，我们才能得出凸包的拐角数等于n。非常感谢，起初我认为它应该比排序容易。

— 巴比斯

感谢Vinayak，我没有看到Jeff的删减，因为它是在我撰写之前用上述替换的评论的同时发布的

— Babis Tsourakakis

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Suresh，我不同意“标准模型”一词。这就是Word RAM的确切含义：)它是与真实计算机最匹配的模型，我们在大多数TCS中使用它来分析算法。几何为使用Real RAM辩护，因此我们无需处理精度问题。但这不是“标准模型”。

— Mihai 2010年

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$O(n log n)$

一旦知道了点的顺序，从每个点到序列中下一个点的角度应该是单调的。我认为这是必要条件，也是充分条件。

让内在的重点留给读者练习。

$O(n log n)$

— BCS
source

您可能像我一样将他的o（n log n）误读为O（n log n）。无论如何，您概述的算法都是以原始形式包装礼品。您实际上不需要使用内部点；您可以使用边界上的一个点，例如x坐标最小的点。

— Per Vognsen

O (n l o g n)

$O(n log n)$

o ()

$o()$

关键是，有许多在O（n log n）中运行的凸包算法。您的算法基本上是简单的旧礼品包装。他要求更快一些，例如线性时间。请参阅其他回复。

— Per Vognsen

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关于您的编辑，如果您可以看一下上面的答案，您会发现问题等同于元素唯一性，其下限为O（n log n）。

— Per Vognsen

2

@BCS：恐怕您对Sariel Har-Peled的答案有些误解。减少是从唯一性到凸位置测试，而不是其他方向。也就是说，Sariel（和JeffE）指出，如果给定一组数字并要测试唯一性，则可以将其转换为一组点，并使用任何算法进行凸位置测试。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

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