解决停止问题实例的oracle调用次数的下限

我遇到了以下问题，这是一个简单的练习（如下所示）。

我们给了个有关停止问题的实例（即TMs），我们需要准确地确定其中哪个在上停止。也就是说，我们需要输出。我们为停止问题提供了一个先知，但我们必须使用它最少的次数。$n$$M_1,...,M_n$$\epsilon$$\{i: M_i\text{ halts on }\epsilon\}$

不难证明可以通过调用来完成。$\log (n+1)$

我的问题是：我们可以证明下界吗？是否有理由怀疑很难找到这种界限？

问题本身的答案（扰流板，悬停鼠标）：

考虑 TM 的情况。我们可以构造一个并行运行的TM，如果其中至少两个停止，则停止（否则卡住）。类似地，我们可以构造一个TM，如果其中至少一个暂停，它会暂停。然后我们可以在上调用oracle 。如果停止，那么我们可以并行运行机器，然后等待其中一个停止。然后，我们可以在最后一个上调用oracle。如果oracle表示“ no”，那么我们在上运行oracle 。如果停止，那么我们将运行机器直到停止一秒钟，这是唯一停止的机器。如果不停止，则没有一个停止。将其扩展到台机器很容易。$3$$H_2$$M_1,M_2,M_3$$H_1$$H_2$$H_1$$H_1$$n$

关于此问题的第一个观察结果是，使用信息理论工具似乎无法解决，因为我们至关重要地依赖于通过不使用Oracle即可运行机器来获取信息的能力。

结果可以在

• Beigel，R.，Gasarch，WI，Gill，J.和Owings，J. Terse，上位和冗长集。通知。和计算。103（1993），第。1，68-85。

他们的证明实际上表明您的问题不能少于 $\log_2 n$查询任何集合$X$，更不用说暂停问题了。对于某些表示法，有时会指出您的问题$C_n^K$ 要么 $C_n^{HALT}$ （取决于您最喜欢的暂停问题）。

对于此以及许多相关结果，另请参见：

• Gasarch的这项调查

• Gasarch和Martin 所著的《递归理论中的有界查询》一书。

编辑：我所回答的论点没有错，但是有点误导，因为它只表明上限对于某些 $n$ （实际上是微不足道的，因为当 $n=2$ 范围是1）。

这是一个更精确的论点。它表明，如果$\log_2 n$ 对于任何特定事物都松散 $n$，那么对于所有人 $n$ 所需的oracle调用数为 $O(1)$。

（当然不是 $O(1)$，因此上限永远不会松动！但是我实际上并没有在这里证明这一点，并且给出了该问题的其他答案，这似乎不值得追求。）

考虑计算最大输出的问题：

给定一个 $n$-元组 $(M_1,\ldots,M_n)$ 的图灵机，计算最大输出（如果在 $\epsilon$）。如果它们都不停止，则返回0。

根据 $n$，计算此函数所需的最坏情况的oracle调用次数与确定哪个 $n$给定机器停止。（如果知道哪些机器停止运行，则可以轻松地计算出最大输出。相反，如果我想知道哪些机器停止运行，则可以按照问题陈述中的构造来构造机器$\{M'_i\}$ $(i=1,2,\ldots,n)$ 哪里 $M'_i$ 运行所有 $n$ 给定并行的机器，然后停止并输出 $i$ 如果 $i$他们曾经停下来。最大输出将告诉我停止的次数。据此，我可以准确计算出哪一个暂停。）

现在，让 $n_0$ 是最小的整数 $n$ （如果有的话），以便满足以下条件：

使用 $C(n) = \max\{k \in \mathbb{Z} : 2^k < n\}$ oracle调用，可以计算出的最大输出 $n$给定的机器。（也就是说，对于$n$）

明显地 $n_0>1$，因为 $C(1) = -1$。事实上，$n_0>2$ 还有，因为 $C(2) = 0$，但无法确定的最大输出 $2$给定的机器（没有oracle调用）。现在考虑更大$n$：

索赔： 如果$n_0$ 那么，对于任何 $n$，可以计算出的最大输出 $n$ 给定机器 $C(n_0)$oracle调用。（请注意，如果$n_0$ 是有限的，那么 $C(n_0) = O(1)$）

证明。。我们通过归纳证明$n$。基本案例是$n\le n_0$，根据定义 $n_0$ 和 $C$。

让 $Q_0$ 是给定的TM $n_0$ 图灵机，仅使用 $C(n_0)$ 调用oracle。

修复任何 $n>n_0$。给予任何$n$ 机器 $M_1,\ldots, M_n$，计算最大输出，如下所示。

专注于第一 $M_1,\ldots,M_{n_0}$机器。考虑跑步$Q_0$ 在这些上 $n_0$机器。注意$Q_0$ 使 $C(n_0)$ 到oracle的调用，并且只有 $n' = 2^{C(n_0)}$oracle对这些调用的可能响应。请注意，根据定义$n' = 2^{C(n_0)} < n_0$。让$o_i$ 表示 $i$可能的回应。对于每个$i=1,\ldots,n'$，建一台机器 $M'_i$ 模拟 $Q_0$ 在这些计算机上，如下所示：

TM值 $M'_i$ （输入时 $\epsilon$）：

1. 模拟 $Q_0$ 在 $n_0$ 机器 $(M_1,\ldots,M_{n_0})$，而不是调用oracle，而是假设oracle根据 $o_i$。
2. 此模拟可能不会停止（例如，如果 $o_i$ 不是oracle实际返回的内容）。
3. 如果模拟停止，则让 $h_i$ 成为最大输出 $Q_0$ 说会被给予。
4. 燕尾全部 $n_0$ 机器 $(M_1,\ldots,M_{n_0})$。如果其中之一曾经输出$h_i$，停止并输出 $h_i$。

现在，按照给定的顺序 $n$ 机器，替换第一个 $n_0$ 机器 $M_1,\ldots,M_{n_0}$ 通过这些 $n'< n_0$ 机器 $M'_1,\ldots,M'_{n'}$。返回通过按以下顺序递归计算得出的值$n-(n_0-n') < n$机器。（请注意，递归之前不会调用oracle，因此只有在达到基本情况后才调用oracle。）

这就是为什么此计算正确的原因。为了$i$ 这样 $o_i$ 是oracle的``正确''响应 $Q_0$ 查询 $M'_i$ 会暂停并给出原始的正确最大输出 $n_0$机器。因此，最大输出$n'$ 机器 $(M'_1,\ldots,M'_{n'})$ 至少是 $n_0$ 机器 $(M_1,\ldots,M_{n_0})$。另一方面，在第4步中，否$M'_i$ 可以提供大于最大输出的输出 $(M_1,\ldots,M_{n_0})$。因此，最大输出$n'$ 机器 $(M'_1,\ldots,M'_{n'})$ 等于最大输出 $n_0$他们替换的机器。优质教育