用于间隔更新和查询零数的数据结构

我正在寻找一种数据结构，该结构将维护大小为的整数表，并允许在时间进行以下操作。 $t$ $n$ $O(\log n)$

，这增加了。 $\text{increase}(a,b)$ $t[a],t[a+1],\ldots,t[b]$
，从而减少。 $\text{decrease}(a,b)$ $t[a],t[a+1],\ldots,t[b]$
，它返回索引的数量，以使。 $\text{support}()$ $i$ $t[i]\neq 0$

您可以保证，使用相同的参数可以将每次减少请求与上一次增加请求进行匹配。我想到的应用程序是一种扫掠线算法，可以在时间计算n个给定直线矩形的并集面积。 $a,b$ $O(n\log n)$

四叉树的大小为，所以这不是解决方案。Fenwick或Interval树具有适当的风格，但我看不出如何扩展它们以支持上述操作。 $\Theta(n^2)$

ds.data-structures cg.comp-geom

— 克里斯多夫·杜尔
source

Fenwick树不会使用“可以使用相同的参数a，b将每个减少请求与先前的增加请求进行匹配”的承诺，因此使用该承诺可能会有一个更简单的解决方案（但现在我不知道了）。

— 杰里米

由于您可以拥有的输入数量最多为

（您可以检测到重复并且可以不插入到数据结构中），因此，使用通用的度量树数据结构，我们仍然可以获得

性能。参见cosy.sbg.ac.at/~ksafdar/data/courses/SeminarADS/…幻灯片47-52。

n^{2}

$n^2$

O (\log n)

$O(\log n)$

— 徐超

杰里米（Jérémie）和朝旭（Chao Xu）。感谢您的评论。我现在了解如何使用“间隔树”来维护一组不断变化的间隔的并集的总长度。实际上，这是一个非常可爱的数据结构。

— ChristophDürr2013年

对于一般数据结构的问题，在搜索

时，需要空间

其中，

是有源对坐标的列表的大小。但确实是扫掠迹线算法

这样的空间保持在线。当

大于

，对于空间更好的数据结构，问题仍然存在。

\log (n^{2}) \in O (\log (n))

$\log(n^2)\in O(\log(n))$

O (p) \subset O (n^{2})

$O(p)\subset O(n^2)$

p

$p$

p \in O (n)

$p\in O(n)$

O (p)

$O(p)$

。

p \in ω (n)

$p\in\omega(n)$

— 杰里米

这是一个很好的链接，您可以在其中测试针对相同问题的其他解决方案的实现：spoj.com/OI/problems/NKMARS

— Segal-Halevi

Answers:

使用段树-将范围递归划分为较小的范围。更新操作的每个间隔可以划分为该递归分区中范围的。对于每个范围存储： $[1,n]$ $[a,b]$ $O(\log n)$ $[x,y]$

间隔的数量已增加但未减少，以使是划分的范围之一 $c(x,y)$ $[a,b]$ $[x,y]$ $[a,b]$
递归或更低的区间的分区子集未覆盖的单元数 $u(x,y)$ $[x,y]$

然后，如果递归拆分为和，则 $[x,y]$ $[x,z]$ $[z+1,w]$

u (x, y) = {\begin{cases} 0 & if c (x, y) > 0 \\ u (x, z) + u (z + 1, y) & otherwise \end{cases}

$u(x,y)=\begin{cases} 0&\text{if }c(x,y)>0\\ u(x,z)+u(z+1,y)&\text{otherwise} \end{cases}$ 因此

当范围的其他数据发生变化时

我们可以在恒定时间内更新每个

值。可以通过查看

来回答每个支持查询。

u (x, y)

$u(x,y)$

u (1, n)

$u(1,n)$

$(a,b)$ $[a,b]$ $O(\log n)$ $c(x,y)$ $u(x,y)$

— 大卫·埃普斯坦
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[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$

u (x, y) = 0

$u(x,y) = 0$

[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$

你能举个例子吗？

— jbapple

假设您的间隔是数字[1,8]。将其递归分为[1,4]，[4,8]，然后是[1,2]，[3,4]，[5,6]和[7,8]，然后是所有一个元素范围。最初，所有内容均未被发现，所有c [x，y] = 0，并且每个范围的长度都为u =其长度。但是，假设您执行了一个递增[2,6]操作。可将[2,6]分解为的O（log n）最大范围为[2,2]，[3,4]和[5,6]，因此我们为这三个设置c [x，y]范围为1。根据我的答案公式，这将导致这三个范围的u [x，y]也变为0。u [1,2]变为1，u [1,4]也变为1，u [ 5,8] = 2，而u [1,8] = 1 + 2 = 3

— David Eppstein

$\text{increase}$ $\text{decrease}$ $O(\sqrt{n}\log n)$ $\text{support}$ $O(1)$ $\Theta(\sqrt{n})$ $\text{increase}$ $\text{decrease}$ $O(\sqrt{n})$ $a$ $b$ $\omega(\log n)$

— jbapple
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O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

O (\log n)

$O(\log{n})$