笛卡尔封闭类别中的箭头和指数对象有什么区别？

在笛卡儿闭范畴（CCC），存在所谓的指数的对象，撰写。当CCC被视为简单类型演算的模型时，指数对象（如表征了从类型到类型的函数空间。指数对象由称为的箭头引入 $B^A$ $\lambda$ $B^A$ $A$ $B$ 和由箭头消除称为（不幸的是称为上类别理论在大多数文本）。我在这里的问题是：指数对象与箭头有什么区别？ $curry : (A \times B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C^B)$ $apply : C^B \times B \rightarrow C$ $eval$ $C^B$ $B \rightarrow C$

type-theory lambda-calculus ct.category-theory

— 天
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在一个类别中，它是指数对象，但是在类型理论中，它可以称为指数类型。

— Andrej Bauer 2013年

这不是研究水平的问题。移至CS交换？

— 安德里亚·阿斯佩蒂

一个是内部的，另一个是外部的。

类别由对象和态射构成。当我们写我们的意思是是从对象到对象的态射。我们可以将所有从到态射收集到一组态，称为“ hom-set”。该集合不是的对象，而是集合类别的对象。 $\mathcal{C}$ $f : A \to B$ $f$ $A$ $B$ $A$ $B$ $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$ $\mathcal{C}$

相反，指数是的对象。这就是“ 如何考虑其同源关系”。因此，必须配备任何结构体的对象有。 $B^A$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $B^A$ $\mathcal{C}$

例如，让我们考虑拓扑空间的类别。那么是从到的连续图，而是所有这样的连续图的集合。但是（如果存在）是一个拓扑空间！您可以证明的点是从到的连续映射（与之双射对应）。实际上，这通常成立：态射 $f : X \to Y$ $X$ $Y$ $\mathrm{Hom}_{\mathsf{Top}}(X,Y)$ $Y^X$ $Y^X$ $X$ $Y$ $1 \to B^A$ （这是“全球点 ”）是双射对应于态射，因为 $B^A$ $A \to B$

H o m (1, B^{A}) ≅ H o m (1 \times A, B) ≅ H o m (A, B) .

$\mathrm{Hom}(1, B^A) \cong \mathrm{Hom}(1 \times A, B) \cong \mathrm{Hom}(A, B).$

有时我们写会草率，而不是。实际上，通常这两个都是同义词，但要理解可能意味着“哦，在这里我是指另一种表示法，所以这意味着是从到的态射。” 例如，当您写下可写的态射您确实应该写 $B^A$ $A \to B$ $f : A \to B$ $f$ $A$ $B$

curry : (A \times B \to C) \to (A \to C^{B})

$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$

因此，我们不能真正责怪任何人在这里感到困惑。内部

在内部使用，外部在外部使用。

curry : C^{A \times B} \to {(C^{B})}^{A} .

$\textit{curry}: C^{A \times B} \to {(C^B)}^A.$

\to

$\to$

$\lambda$ $t$ $B$ $t : B$ $B$ $B$

curry : (A \times B \to C) \to (A \to C^{B})

$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$

λ

$\lambda$

curry : ((C^{B})^{A})^{C^{A \times B}} .

$\textit{curry}: ((C^B)^A)^{C^{A \times B}}.$

B^{A}

$B^A$

A \to B

$A \to B$

— 安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）
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感谢您的出色回答，完全消除了这个谜团。

— 天

确实！很好的解释！

— Uday Reddy 2013年

那么哪个是内部的，哪个是外部的？

— CMCDragonkai 2015年