在O（k）中找到数组中最小的k个元素

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我在网上发现了一个有趣的问题。给定一个包含n个数字的数组（不包含有关它们的信息），我们应该在线性时间内对该数组进行预处理，以便在给定一个数字1 <= k时，可以返回O（k）时间中的k个最小元素。 <= n

我一直在和一些朋友讨论这个问题，但没人能找到解决方案。任何帮助，将不胜感激！

快速说明：-k个最小元素的顺序并不重要-数组中的元素是number，可能是整数，可能不是（所以没有基数排序）-在预处理阶段不知道数字k。预处理是O（n）时间。在O（k）时间上的函数（找到k个最小元素）。

sorting

— 伊丹
source

4

如何使用最小堆？

— SHIR

1

看一下k-skyband和top-k计算。论文cs.sfu.ca/~jpei/publications/subsky_tkde07.pdf对相关文献进行了很好的回顾。

— 安德拉斯·萨拉蒙

1

西尔-我研究了最小堆的想法。但是，为了打印最小堆中的k个最小数字是O（klogn）时间，而不是O（k）

— Idan

4

@idannik：为什么您要花费

时间才能找到最小堆中的

最小元素？

Ω (k \log n)

$\Omega(k \log n)$

k

$k$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen 2013年

8

我不认为这是研究水平。看起来像是一项作业。你在哪里找到它？

— 卡夫

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在时间预处理值的数组： $n$ $O(n)$

$i\leftarrow n$
当
- 计算时间中的中位数 $m$ $A[1..i]$ $O(i)$
- 分区为和在同一时间。 $A[1..i]$ $A[1..i/2-1] \leq m$ $A[i/2+1..i]\geq m$
- $i \leftarrow \lfloor i/2 \rfloor$

总预计算时间内 $O(1+2+4+...+n)\subseteq O(n)$

在时间回答中的最小元素的查询： $k$ $A$ $O(k)$

$l\leftarrow \lfloor \log_2 k \rfloor$
选择 th元素的在时间 $(k-2^l)$ $x$ $A[2^l..2^{l+1}]$ $O(2^l)\subseteq O(k)$
分区通过在同一时间 $A[2^l..2^{l+1}]$ $x$

包含最小的元素。 $A[1..k]$ $k$

参考文献：

1999年，Dor和Zwick提出了一种算法，可在比较之内及时计算元素的中值，从而产生了一种算法，可以从少于比较中的无序元素中选择第个元素。 $n$ $2.942 n + o(n)$ $k$ $n$ $6n$

— 杰里米
source

1

我想外环被认为是'针对i在

'。您的算法与Yuval Filmus的答案不同吗？

{2^{⌈ \lg n ⌉}, \dots, 4, 2, 1}

$\{2^{\lceil\lg n\rceil},\dots,4,2,1\}$

— Radu GRIGore

2

这是我的算法对任意

的推广。它还阐明了（故意）我的回答中遗漏的一些实现细节。

n

$n$

— Yuval Filmus 2013年

3

@YuvalFilmus您是否希望通过评论暗示我的回答在道德上接近于您？这是我审阅问题时想到的解决方案。我看到您发布了类似的文章，但不清楚，所以我写了自己的文章（而不是对您的文章进行重大编辑）。最终重要的是系统上答案的质量，而不是真正由谁编写的：徽章和声誉只是激励，而不是目标本身。

— 杰里米

4

@Jeremy一点也不；只是两个解决方案是相同的（但是您的解决方案适用于任意

），并且我并没有充实细节，以防实际上这是一个家庭作业问题。

n

$n$

— Yuval Filmus 2013年

2

哦：（那很抱歉。（尽管我仍然认为给出完整的答案要优先于作业怀疑）

— 杰里米

14

为简单起见，假设。使用线性时间选择算法来寻找在位置上的元件 ; 这需要线性时间。鉴于，发现使得 ; 注意，。筛选出等级最高为所有元素 $n = 2^m$ $2^{m-1},2^{m-2},2^{m-3},\ldots,1$ $k$ $t$ $2^{t-1} \leq k \leq 2^t$ $2^t \leq 2k$ $2^t$ ，现在使用线性时间选择算法在时间找到位置处的元素 $k$ $O(2^t) = O(k)$ 。

澄清：似乎预处理需要时间 $\Theta(n\log n)$ ，如果您不小心的话，确实是这种情况。以下是在线性时间内进行预处理的方法：

while n > 0:
  find the (lower) median m of A[0..n-1]
  partition A in-place so that A[n/2-1] = m
  n = n/2

就地分区就像在quicksort中一样进行。运行时间在是线性的，因此是线性的。最后，数组满足以下属性：对于每个，由最小元素组成。 $n + n/2 + n/4 + \cdots + 1 < 2n$ $A$ $k$ $A[0..n/2^k-1]$ $n/2^k$

— Yuval Filmus
source

1

自然。如果对数组排序，则可以在

解决此问题，而无需进行预处理。也许您不知道可以在时间

找到第

个最大元素的线性时间选择算法？

O (1)

$O(1)$

k

$k$

O (n)

$O(n)$

— Yuval Filmus 2013年

4

@Yuval Filmus：你是不是运行算法

次，共计

步骤？还是您有某种交错的想法？

\log n

$\log n$

n \log n

$n \log n$

— 安德拉斯·萨拉蒙

3

@AndrásSalamon：如果您阅读Jeremy给出的答案（在我看来，这个答案几乎与此相同），您会发现首先处理整个数组，然后处理前半部分，依此类推。

— Radu GRIGore

3

n + n / 2 + n / 4 + \dots + 1 < 2 n

$n+n/2+n/4+\cdots+1 < 2n$

5

顺便说一句，在我对先前问题的回答中，此算法作为子例程出现：cstheory.stackexchange.com/questions/17378/…–

— David Eppstein

2

$O(n)$ $O(k)$ $k$

弗雷德里克森，格雷格N.，用于在最小堆选择的最优算法，INF中。计算 104，第2号，197-214（1993）。ZBL0818.68065 ..

— 真实
source

1

k

$k$

O (k)

$O(k)$

@ a3nm这确实不是一个简单的算法，但是我已经更新了参考。

— hqztrue

k

$k$

k

$k$

O (k)

$O(k)$

k

$k$

k

$k$

x

$x$

< x

$<x$

O (k)

$O(k)$

k

$k$

k / 2

$k/2$

k

$k$

0

$k$ $k$

— jbapple
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1

k

$k$

2

我知道了。我的错。

— jbapple 2013年

在O（k）中找到数组中最小的k个元素

在时间O （n ）中预处理值的数组：ñnnO （n ）O(n)O(n)

在时间O （k ）中回答A中的最小元素的查询：ķkk一个AAÔ （ķ ）O(k)O(k)

参考文献：

在时间预处理值的数组： $n$ $O(n)$

在时间回答中的最小元素的查询： $k$ $A$ $O(k)$