多项式Hirsch猜想的组合版本

考虑{1,2，…，n}，不相交的子集。 $t$ ${\cal F}_1,{\cal F_2},\dots {\cal F_t}$

假设

（*）

对于每一个和每，和，有含有。 $i \lt j \lt k$ $R \in {\cal F}_i$ $T \in {\cal F}_k$ $S \in {\cal F}_j$ $R \cap T$

基本问题是：

不能多大？？？

什么是已知的

最熟知的上限是准多项式。 $t \le n^{\log n+1}$

最著名的下限是（至对数因子）二次方。

此抽象设置摘自Friedrich Eisenbrand，NicolaiHähnle，Sasha Razborov和Thomas Rothvoss撰写的论文《多面体的直径：抽象的极限》。在他们的论文中可以找到二次下界以及上限的证明。

动机

每个上限将应用于具有n个小面的d维多边形图的直径。要查看此联想到每个顶点设定包含它刻面。然后从一个顶点开始让是对应于距离的多面体的顶点的集合从。 $v$ $S_v$ $w$ ${\cal F}_r$ $r+1$ $w$

这个问题是polymath3的主题。但是我认为，尽管这是一个开放性问题，但在此处和MO上进行介绍还是很有用的。如果项目会导致特定的子问题，我（或其他人）也可以尝试询问它们。

（更新； 10月5日：）特别引起关注的一个具体问题是将注意力集中在大小d的集合上。当所有族中所有集合的大小均为d时，令f（d，n）为t的最大值。当我们允许大小为d的多集时，令f *（d，n）为t的最大值。了解f *（3，n）可能至关重要。

问题： f *（3，n）表现得像3n还是4n？

已知的下限和上限分别为3n-2和4n-1。并且由于3是序列'd'的开始，而4是序列的开始，因此决定真值是3还是4并不重要。参见第二个线程。 $2^{d-1}$

— 吉·凯莱（Gil Kalai）
source

赫希猜想，维基百科

— vzn 2012年

似乎这个猜想将是非常可测试的，甚至可能容易受到使用蒙特卡洛方法的计算/经验/实验方法的影响。有人尝试过吗？

— vzn 2012年

您的新赏金理由是“当前答案已过期并且需要根据最近的更改进行修订”，看来您有什么特别的主意...？这份2013年的论文，桑托斯（Santos）关于“多面体和简单复合体直径的最新进展”说，赫希猜想“现在被证明”。

— vzn 2014年

亲爱的vzn：这是个玩笑：在没有答案的情况下，关于当前答案的任何陈述都是正确的。

— Gil Kalai 2014年

$t$ $n$ $d$ $3^{2^n}$ $f$ 从最初的几个值开始。我们还没有详细研究过先前线程的所有注释，因此其中一些可能已经为人所知-如果我有一个运行正常的LaTeX环境，我们基本上很乐意快速编写代码，并希望将结果发布到某个地方将其放在ArXiV上。

代码（不完全是生产代码...）：http : //pastebin.com/bSetW8JS。值：

f(d=2, n)=2n-1 for n <= 6

f(d=3, n=3) = 6
{} {0} {01} {012} {12} {2}

f(d=4, n=4) = 8
f(d=3, n=4) = 8
{} {0} {01} {1,02,03} {2,13} {123} {23} {3}
{} {0} {01} {2,013} {1,02,03} {023} {23} {3}

f(d=5, n=5) = 11
f(d=4, n=5) = 11
f(d=3, n=5) = 11
{} {0} {01} {1,02} {2,13,04} {12,03,14} {3,124} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {1,02} {2,13,04} {12,03,14} {3,124} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {012,3} {02,12,013,014} {13,023,04,124} {123,024} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {012,13} {02,12,013} {03,123,014,024} {023,124} {23,24} {234} {34} {4}

${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ $A \in {\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}, \{ A \}$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}, \{ A \}$ ${\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$

$\sim$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ ${\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1} \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t, {\cal F}_{t+1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1}$ ${\cal F}_{t+1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ 。随之而来的是动态编程算法。然后，等价类的数量（以及上述两个操作所花费的时间）对明显的动态编程算法的运行时间进行了限制。

$A$ $\{ 1, \dots, n \}$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ $\{ k \mid \exists B \in {\cal F}_k : A \subseteq B \} = \{ i, \dots, j \}$ $1 \leq i \leq j \leq n$ $(i, j)$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ $\{ 1, \dots, n \}$

${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ $\{ 1, \dots, n \}$ ${\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$ $B$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$ $(i, j)$ $j < t - 1$ $A$ $\sim$ $B$ $C \in {\cal F}_t$ $D \in {\cal F}_{t+1}$ $B \cap C \subseteq D$ $3^{2^n}$

${\cal F}_{t+1}$ ${1, \dots, i}$ ${\cal F}_1 = \{ \{ 1 \} \}, {\cal F}_2 = \{ \{ 1, 2 \} \}$ ${\cal F}_{t-1}$ ${\cal F}_t$ ${\cal F}_3$ 可能会节省更多费用。

— 亚历克斯·十·布林克
source