进行量估算的动机

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在最近的有关随机游走方法的论文中，有哪些具体而引人注目的应用来估计这类凸多面体的体积？

这些有关体积估计的论文将数值积分作为一种动机。人们在实践中要计算的积分的哪些例子很难用以前的方法来计算？还是还有其他一些引人注目的实际应用程序可以用来计算1000维多面体的体积？

cg.comp-geom na.numerical-analysis markov-chains

我想知道是否会在physics.stackexchange.com上得到更多您正在寻找的类型的响应...另外，对于我们这些不熟悉这一特定理论子领域的人，您是否可以包括一些参考资料？ “更多有关随机游走方法的论文”？

— 约书亚·格罗肖

在回答并四处寻找之后，对此会进行更多思考。一些论文似乎指出或朝着正确的方向发展，即计算多表位的体积就像复杂性理论中的一个基本问题。鉴于计算行列式是复杂性理论中的另一个关键问题，而行列式是并行管道的体积，这并不奇怪。因此，一个合理的答案似乎是，复杂性理论似乎存在着深层或自然的联系。对此的更多证据可能是与某些特定的复杂性类相关联。...可能会在此方面进行更多挖掘....

— vzn 2013年

另请参阅mathoverflow，查找复杂多位体体积的算法。是的，以上这个问题要求的是应用程序，而不是算法，但是某些算法论文会给出动机/应用程序。

— vzn

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估计凸多面体的数量和与其密切相关的采样任务在私有数据发布中具有应用。

大致来说，您要解决的问题是：给定数据库中的一组数值查询，在满足差异性隐私的同时，为那些与实际答案尽可能接近的问题提供答案。在某些参数范围内，用于解决此问题的最佳算法具有几何描述，并且实现该算法涉及从凸多面体采样。看到这里：http : //arxiv.org/pdf/0907.3754v3.pdf

— 亚伦·罗斯
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$s$ $s$

在计算机安全方面，定量信息流方面的工作已应用这些方法来估计特定程序可能泄漏的机密信息量。在这里，我们建立了一个多面体，表示程序在执行的特定点的可能状态，然后我们想要估计一些可能的状态数（这与释放的信息量有关）。因此，在分析的某个点，他们最终试图计算包含在多面体内部的整数点的数量。这闻起来与体积估计有关（对我而言）。

这是一份具有代表性的早期论文：

信息泄漏的自动发现和量化。迈克尔·贝克斯，鲍里斯·科普夫，安德烈·里巴尔琴科。IEEE安全与隐私2009。

就是说，这可能与您要找的不完全一样。它需要一些方法来计算多面体内部的整数点数量，这与多面体的体积不同。另外，我认为他们不需要分析尺寸为1000或更高的多面体（尽管我不确定）。

— DW
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谢谢。我认为找到一组线性不等式的整数解的数量的问题是＃P-完全的（math.ucdavis.edu/~deloera/RECENT_WORK/semesterberichte.pdf也有更多应用）。而估算音量可以在多段时间内完成。您显然可以使用后者来近似前者，但我确实在寻找体积估计的直接具体应用。

计算多足体的体积也很困难。就其本身而言，这一事实几乎不能说明近似值。

— Sasho Nikolov

P \neq B P P

$P\neq BPP$

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@Turbo显然，它不能证明P不等于BPP，因为这两个类与oracle模型无关。我相信确定性地近似以不等式表示的多义词的体积是开放的。

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov如果您可能知道这个看似简单的问题，那就好了mathoverflow.net/questions/336369/…。

— T ....

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Hari Narayanan最近在arXiv上发表了一篇论文，其中他使用了估计凸多面体的体积来证明有关Littlewood-Richardson（LR）系数的某些结果。LR系数是表示论中的某些整数，已在几何复杂性理论，粒子物理学和许多其他领域中应用（有关更多参考，请参见上述论文的介绍）。同样，可能不是您想要的，但仍然是一个有趣的联系。

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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有关经济预测（即供应链管理）中的示例/案例研究，请参见例如：凸体的N维体积估计： Sharma，Prasanna和Aswal的算法和应用。

在健壮的优化框架中，我们的方法可用于量化约束区域中的信息内容和不确定性。我们展示了在未来不确定性条件下在供应链管理中的应用。

从根本上说，多面体可以为供应链管理配置的参数“未来方案”建模。模型/估计中的不确定性（或“错误”）与多表位的体积成比例。参见幻灯片3,4。然后允许：

不确定性的定量估计
等效信息的产生
帮助进行假设分析

— z
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谢谢。这些示例很好，但我仍然很难相信它们是什么，当人们说估计高维凸体的体积是马尔可夫链蒙特卡洛方法的最重要应用之一时。

同意幻灯片中的示例是“玩具尺寸”（尺寸最大），但实际上某些供应链管理问题的尺寸较大。同样，这条研究线对我似乎暗示它可能在某些形式的数据挖掘中有一定的应用。

— vzn

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$B_n$ $n$

Birkhoff多表位，热核和图复杂度，Francisco Escolano，Edwin R.Hancock，Miguel A.Lozano，2008年

— z
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