选择两个数字之和

这是最近的邻居问题。

给定实数（非常大的！），加上目标实数，找到SUM最接近和。我们允许对（最大为）进行合理的预处理/索引编制，但是在查询时间（给定）下，结果应该非常快地返回（例如时间。$a_1, \ldots, a_n$$n$$p$$a_i$$a_j$$p$$a_1, \ldots, a_n$$O(n \log n)$$p$$O(\log n)$

（简单的示例：如果我们只希望最接近的SINGLE，则可以离线对排序，$a_i$$p$$a_1, \ldots, a_n$$O(n \log n)$，然后在查询时进行二进制搜索， $O(\log n)$）。

无效的解决方案：

1）排序 $a_1, \ldots, a_n$脱机，然后在查询时，从两端开始并向内移动两个指针（http://bit.ly/1eKHHDy）。不好，因为$O(n)$ 查询时间。

2）排序 $a_1, \ldots, a_n$ 脱机，然后在查询时，将每个 $a_i$并对“伙伴”执行二进制搜索，以帮助其求和到接近。不好，因为查询时间为。$p$$O(n \log n)$

3）离线对所有对）进行排序，然后进行二进制搜索。不好，因为预处理。$(a_{1}, \ldots, a_{n})$$O(n^2)$

谢谢！

ps。实践需要进一步的概括：（1）和为50维向量，（2）“ close”为向量余弦距离，以及（3）最佳最接近对和（即，不只是最好的$a_1, \ldots, a_n$$p$$k$

几乎可以肯定这是不可能的。

假设您可以用预处理时间解决问题 $P(n)$ 和查询时间 $Q(n)$。然后有一个简单的算法可以解决3SUM问题-给出了一组$n$ 实数，任何三个元素的总和是否为零？ $P(n)+n\cdot Q(n)$时间。我们对所有数字进行预处理，然后对每个数字进行处理$a_k$，我们发现了 $a_i+a_j$ 最接近 $-a_k$; 如果匹配$-a_k$ 确切地说，我们找到了解决3SUM问题的方法。

但是，已知的3SUM最快算法在 $O(n^2)$时间，并且该算法被广泛认为是最优的。而且，有一个匹配$\Omega(n^2)$在受限但自然的决策树计算模型中的下限。对于整数集，有一些次二次时间算法可以“玩位游戏”，但是即使在整数RAM模型中，也可以推测3SUM要求$\Omega(n^2/\text{polylog}\,n)$ 时间。

因此，假设猜想是正确的，那么您的问题要么需要（接近）二次预处理时间，要么需要（接近）线性查询时间。

如果在预处理过程中可以使用无限的空间和无限的时间，则以下解决方案可以满足您的要求：

• 在预处理期间，计算集合 $\{a_i+a_j:1\le i\le j\le n\}$，然后按排序顺序存储此集合。该集合可以生成并排序$O(n^2)$ 时间，这需要 $O(n^2)$ 存储它的空间。

• 现在回答一个查询（以查找 $a_i,a_j$ 哪里 $a_i+a_j$ 接近 $p$尽可能），只需在此排序列表中进行二进制搜索即可。那需要$O(\lg n)$ 时间。

如果此解决方案不可接受，则需要更仔细地考虑您的要求并相应地编辑问题。