一个可判定性未知的简单问题

92

我正在准备针对本科数学专业的演讲，作为其中的一部分，我正在考虑讨论可判定性的概念。我想举一个我们目前不知道可决定或不可决定的问题的例子。有很多这样的问题，但是到目前为止，似乎没有一个例子能很好地脱颖而出。

什么是可决定性开放的简单描述问题？

computability decidability

— 列夫·雷津
source

26

Collatz问题是易于确定的开放性问题。事实证明，对Collatz问题的推广是不确定的。math.mit.edu/~poonen/papers/sampler.pdf mathworld.wolfram.com/CollatzProblem.html

— Mohammad Al-Turkistany

2

也许你还可以显示这个漂亮的“绝招”：写一个小程序（你可以把它称为“哥德巴赫”），其遍历的偶数

，并检查

一些素数

并在否定情况下停止...然后说：“嗯，我们不知道该程序的停止问题是否可以判定！” :-)。它显示了数论问题与停顿问题之间的密切相关性。

n_{i} \geq 5

$n_i \geq 5$

n_{i} = p_{j} + p_{k}

$n_i = p_j + p_k$

p_{j}, p_{k} < n_{i}

$p_j, p_k<n_i$

— Marzio De Biasi 2013年

8

这些看起来不错，但是可判定性的概念并不仅仅适用于一个特定的实例，因为对于这两种情况，答案都是固定的是/否。

— 列夫·雷津

6

@MarzioDeBiasi，这不是停顿问题和数论之间的“强相关性”。任何形式的“易碎部件不存在/不存在”的猜想都可以变成一个程序，只要存在易碎部件，就可以停止，只要易碎性是可确定的并且小部件可以递归枚举即可。这样的程序的存在只是停止问题和小部件理论之间最琐碎的联系。

— David Richerby 2013年

2

@DavidRicherby：相当有说服力：-)。我只是想指出一个事实（对我来说很惊讶），解决停顿问题所需的少量代码对应于解决长期存在的数学猜想。因此，我应该将“强相关性”替换为“弱相关性，但令我惊讶” :-) :-)

— Marzio De Biasi 2013年

91

2x2矩阵的矩阵死亡率问题。即，给定2x2整数矩阵M ₁，...，M _k的有限列表，是否可以将M _i以任何顺序（任意多次重复）相乘以生成全0矩阵？

（已知3x3情况是不可判定的。1x1情况当然是可判定的。）

— 斯科特·亚伦森
source

6

epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/1.9781611974782.12 Igor Potapov和Pavel Semukhin最近表明这是可以确定的。

— 赵超

4

@ChaoXu：这篇论文似乎只适用于非奇异矩阵。

2

@RickyDemer你是对的，我的错。

— 赵超

57

更新：我现在在这里提到的问题现在还不确定！http://arxiv.org/abs/1605.05274 此外，本文的灵感来自阅读此答案。:)

数学上的主要受众的程序员可能会惊讶地发现问题“这种类型是否可以隐式转换为该类型？” 在Java 5，C＃4和Scala 2中都不是可判定的。

有关更多详细信息，请参见Andrew Kennedy和Benjamin Pierce的论文“关于带有方差的名义子类型的可判定性”。本文提供了对这些语言的类型系统的其他限制的一些示例，在这些限制下，名义上的子类型变得可判定或不可判定。

有趣的是，在将通用协方差和逆方差添加到C＃之前，该论文写得很好，但是作者正确地预测了该语言的发展方向。（这并不奇怪；作者设计了CLR中对方差的基础支持，当我在C＃中添加方差时，我就利用了这些支持！他们做了繁重的工作。）

— 埃里克·利珀特
source

7

@vzn：可以使Microsoft C＃编译器进入无界递归。请参阅我关于该主题的文章：blogs.msdn.com/b/ericlippert/archive/2008/05/07/…–

— 埃里克·利珀特

3

@vzn：也有一些方法可以使Java编译器的行为也很差，但我不知道细节。

— 埃里克·利珀特

2

@vzn Scala的类型语言是图灵完整的，因此Scala的类型检查器可以循环。有关详细信息，请参见此处。Haskell也是如此。我对C＃和Java不够熟悉，无法知道是否可以循环使用各自的类型检查器。

— Martin Berger

3

@vzn：您也可能对此感兴趣：C＃3中的重载分辨率至少是NP-HARD，因为您可以强制编译器解决任意SAT问题：blogs.msdn.com/b/ericlippert/archive/2007/03 / 28 /…

— 埃里克·利珀特

7

@vzn：最后，问题“这有点学术吗？” 当然回答是。问题“众所周知是可以决定的吗？” 从本质上讲是一个学术问题。在实际的业务代码中不会出现这些情况。从工程的角度来看，这个问题的重要性是安全 ; 敌对的第三方能否在运行之前提供对其进行分析的代码，从而本身可能导致不良行为？这就是我们在互联网上的情况，敌对的第三方将JavaScript发送到您的浏览器。

— 埃里克·利珀特

47

希尔伯特关于理性的第十个问题：“这个多项式方程有理性解吗？”

— 鲍里斯·布赫（Boris Bukh）
source

1

谢谢-您是否有指向某个地方的链接，它说它是开放的？

— 列夫·雷津

1

参见www-math.mit.edu/~poonen/papers/subrings.pdf（第二段）。还有在说明性文章www-math.mit.edu/~poonen/papers/aws2003.pdf

— 鲍里斯Bukh

看看为什么这个问题不等同于希尔伯茨第十个问题，并且同样的证明不适用，还是很有帮助的。

— vzn

2

vzn：有理式上的方程式可以看作是整数上的方程式的一种特殊情况（通过乘以清除分母）。因此，问题在于希尔伯特第十个问题的特殊情况是否已经不确定。现有证明产生的丢番图方程式没有所需的特殊形式。

— Scott Aaronson

1

@vzn之所以微妙，原因之一是大多数（也许是全部）证明策略都会违反Mazur的猜想。有关更多信息，请参见Boris Bukh的第一个链接的第1页。

— David E Speyer 2013年

29

给定线性递归及其初始值的问题，它是否取值为0？

二参考：

http://terrytao.wordpress.com/2007/05/25/open-question-effective-skolem-mahler-lech-theorem/

http://www.cs.ox.ac.uk/joel.ouaknine/publications/positivity12.pdf

— 马格努斯寻找
source

3

现在在Wikipedia上：en.wikipedia.org/wiki/Skolem_problem

— David Eppstein

23

可判定性未知的一个简单问题如下（我认为它仍然是未解决的）：

无限棋：

$Z \times Z$

$n$ $n$

另一个简单的问题是兰顿蚂蚁在有限初始配置下的行为。

兰顿在有限支持下的蚂蚁行为：

平面上的正方形被涂成黑色或白色。我们任意地将一个正方形标识为“蚂蚁”。蚂蚁在采取的每个步骤中都可以沿四个基本方向中的任何一个行进。蚂蚁按照以下规则移动：

在白色正方形处，向右旋转90°，翻转正方形的颜色，向前移动一个单位
在黑色正方形处，向左旋转90°，翻转正方形的颜色，向前移动一个单位

输入：平面和蚁位置的有限配置（黑/白）；
问题：蚂蚁是否总是会结束建立循环无限的“高速公路”？

在此处输入图片说明

要获得无限支持，问题是无法确定的，请参见： A. Gajardo，A。Moreira和E. Goles，兰顿蚂蚁的复杂性

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
source

20

Collatz问题是易于确定的开放性问题。它涉及基本算术运算的简单重复。

$f(n)=\mathsf{\{}$ $n/2$ $3n+1$

$n_0$

有趣的是，Collatz问题的一般化是不确定的。

参考文献：

1- 不可预知的问题：一个抽样者，乔恩·庞恩

2- Weisstein，Eric W.“ Collatz问题”。来自MathWorld-Wolfram Web资源。

3- 3X + 1问题：概述，Jeffrey C. Lagarias

— 穆罕默德·图尔克斯坦尼
source

13

严格来说，对您的特定问题的答案只是“是”或“否”，因此不能确定。另一方面，判断特定数字是否为Collatz数字可能不确定。

— 列夫Reyzin

@LevReyzin谢谢。编辑以解决此问题。

— Mohammad Al-Turkistany

很高兴现在已经包含了这个答案，并建议可以像其他评论/答案中一样阐述所有其他主要的开放数论问题，并认为这个基本联系接近理论界未曾探索过的关键桥梁定理。

— vzn

从更多的TCS /经验角度对此处有很多参考的Collatz猜想进行研究（例如，通过FSM换能器递归，标签系统等）

— vzn 2013年

17

尚不确定是否可以确定给定形状是否可以平铺该平面。

— 约瑟夫·奥罗克
source

16

联合查询包含的可判定性已经开放了二十多年。解决这个问题将是数据库理论的突破。

$Q_1$ $Q_2$ $Q_1$ $I$ $Q_2$ $I$

在联合查询中，使用AND将存在的量化谓词链接在一起。用SQL术语来说，联合查询是使用“ =”和“ AND”但没有子查询或聚合的SELECT-FROM-WHERE查询。这可能是最常见的数据库查询，并且包括大多数搜索引擎查询。

$I$ $Q_1$ $Q_2$

$\ne$

$(N,+,\times)$ $(N,+,\times)$

有关广泛文献和严格处理的指导，请参见一些人撰写的ToDS论文（印刷中）。

$Q$ $R$ $Q$ $Q \text{ AND } R$ $Q$

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
source

这是相关文章。

— Martin Berger 2013年

1

@MartinBerger：ToDS版本包括上面提到的NP硬度证明，具有完整的证明，并且是开放访问的（尽管由于缺少空间而省略了有关CQ并集的内容）。 dx.doi.org/10.1145/2556524

— 安德拉斯·萨拉蒙

15

具有3到6之间固定数量的图块的Post的对应问题。

尽管描述起来并不十分简单，但是它的描述确实非常“有趣”，我发现它适合直觉级别的演讲。

— 鲨鱼
source

13

广义星高问题：“我需要用允许互补的正则表达式来表示这种规则语言，所以我需要代表多少个Kleene星嵌套？”

我们什至不知道总是返回1的算法是否正确（对于无明星语言，返回0除外）。

— 丹尼斯
source

10

自动机理论中的一个问题。

$D$

$x$ $D$ $x$ $x$ $L(D) \cap Primes$

评论：我最初是从Jeffrey Shallit的stackexchange回答中听到此问题的。如果您知道对它的任何引用，请告诉我。谢谢！

相关文章：

（1）DFA是否还有未解决的问题？

（2）https://cs.stackexchange.com/questions/48084/determining-if-infinite-binary-language-dfas-contain-at-least-1-prime

相关工作： https ：//cs.uwaterloo.ca/~shallit/Papers/br10.pdf

C. Bright，R。Devillers和J. Shallit的“质数的最小元素”

— 迈克尔·韦哈尔
source

7

间隔上的迭代地图（从此处进行描述）：

（与Magnus Find提出的问题有关）

$F$ $x$ $x$ $x$ $F(x)$ $F(F(x))$ $F$ $x$ $F$

$F$ $x$ $y$ $x$ $y$

$F$

$F$ $x$ $y$ $x$ $F$

参考：Asarin 2011。

— 尼古拉斯·佩林（Nicolas Perrin）
source

2

似乎有一种相当自然的方法/角度来研究此问题，至少在以下3篇论文中使用了此方法。

$TM(k,l)$ $k$ $l$ $k,l$ $k,l$

结果可以显示在网格上，如以下某些参考文献所示。同样在中间区域，实际上已知某些（未解析的）机器能够模拟某些输入的Collatz猜想。

因此，显然存在一个“过渡点”之类的现象在这里运行，但不在可计算区域内，而是在可计算和不可计算之间的不寻常意义上。

— z
source

ps在撰写本文时，无法从arxiv下载De Mol ref pdf文件给我，它挂起了

— vzn 2013年

-3

$2^8$

同样作为“差点错过”或“相对较近期解决的未解决问题，TM已完成”的示例，Wolfram 2,3机器在2007年被证明是通用的，获得$ 25K奖金。比赛于2007年5月宣布，比赛于2007年10月宣布了冠军史密斯。

— z
source

-10

有一种相当自然的方法可以将大多数未解决的问题映射到（不可确定性）问题上。通常不知道大多数未解决的问题是可证明的或不可证明的。

在网上，关于P vs NP问题的不确定性存在一些非正式的混淆，这并不是严格意义上的决策问题，因此谈论其不确定性在技术上是不正确的。但另一方面，不确定性和可证明性之间似乎确实存在着紧密/自然的联系，如下所述。

例如考虑

$L$ $x$ $O(n^x)$

这种语言是可以决定的吗？这是一个关于其可判定性开放的语言的问题，该语言基本上与P vs NP问题及其固有的（非）可证明性紧密相关（甚至几乎相同）。

至于P与NP的“描述简单”，只要求TM，Big O运行时符号，不确定性的概念，这些概念相当简单（某些TCS最基本的概念），并且是在本科生水平上讲授的，或者是天才的高中生可以理解。

实际上，NP与P / Poly也是开放的，并且可以以相同的方式映射到关于可判定性的开放问题，这可以说是一个关于最小（单调？）电路增长以识别NP完整的相当简单的问题。问题（例如集团）。

— z
source

3

L

$L$

x

$x$

L = \emptyset

$L = \emptyset$

x

$x$

Θ (n^{x})

$\Theta(n^x)$

L

$L$

L

$L$

\neq

$\ne$

2

说整数不可计算是胡说八道。而且我认为排除中间语的原则不受该陈述是否可证明的影响。

— 2013年

5

修正您的答案或停止发表评论。我已经看到了这些问题，但是如果您无法使用它们或给出的答案来解决自己的问题，或者更糟的是，如果您不想这样做，也许您应该去找另一个社区。

— Sasho Nikolov

5

到目前为止，无论ZFP的P vs NP问题的解决方案或形式独立性如何，您答案中的问题都是微不足道的。同样，根据一个著名的猜想的真相制造出可能无法决定或微不足道的问题，无非是一项可爱的练习（到目前为止，您是完全失败的），并且在大多数情况下，这并不能说明猜想的内在困难。

— Sasho Nikolov