将类型论中的有限集理论形式化

大多数证明助手都有“有限集”概念的形式化形式。但是，这些形式化有很大的不同（尽管人们希望它们在本质上都等同！）。在这一点上，我还不了解所涉及的设计空间，以及每种形式化的优缺点。

我特别想了解以下内容：

• 我可以在简单类型理论中公理化有限集（即由有限数量的居民居住的类型）吗？系统F？这样做的缺点是什么？
• 我知道可以在依赖类型的系统中“优雅地”完成。但是，从经典的角度来看，最终的定义似乎极为陌生。[我并不是说他们错了，远非如此！]。但是我也不明白为什么它们也是“正确的”。我了解他们选择了正确的概念，但是“以这种方式说”的更深层原因是我没有完全掌握。

基本上，我想对类型理论中“有限集”概念的形式化的设计空间进行合理的介绍。

我知道可以在依赖类型的系统中“优雅地”完成。但是，从经典的角度来看，最终的定义似乎极为陌生。

您能解释一下“外国人”的意思吗？在我看来，您在类型论和集合论中以完全相同的方式来形式化有限集的概念。

在集合论中，您将集合为 然后，将有限谓词定义为： 其中表示集合的同构。$Fin(n)$˚F 我Ñ 我吨È（X ）≜ ∃ Ñ ∈ Ñ

$$\mathrm{Fin}(n) \triangleq \{ k \in \mathbb{N} \;|\; k < n \}$$ 甲≃ $$\mathrm{Finite}(X) \triangleq \exists n\in\mathbb{N}.\; X \simeq \mathrm{Fin}(n)$$ $A \simeq B$

在类型论中，您可以做完全相同的事情！ 请注意，是具有元素的类型（因为该对的第二个成分与证明无关）。然后，可以将有限类型构造函数定义为： 其中表示类型的同构。˚F 我Ñ（Ñ ）ñ ˚F 我Ñ 我吨È（X ）≜ ＆Sigma; Ñ ：Ñ

$$\mathrm{Fin}(n) \triangleq \Sigma k:\mathbb{N}.\; \mathsf{if}\; k < n\,\mathsf{then}\; \mathsf{Unit} \;\mathsf{else}\; \mathsf{Void}$$ $\mathrm{Fin}(n)$$n$甲≃ $$\mathrm{Finite}(X) \triangleq \Sigma n:\mathbb{N}.\; X \simeq \mathrm{Fin}(n)$$ $A \simeq B$

让我看看是否可以对Neel的答案添加任何有用的信息。有限集的“设计空间”在构造上要大得多，这是经典的，因为“有限”的各种定义不需要在构造上达成一致。类型理论中的各种定义给出了稍微不同的概念。这里有一些可能性。

Kuratowski有限集（ -finite）可以描述为自由 -semilattices：给定集合，类型或对象，自由 -semilattice的元素可以作为有限子集的思想。实际上，每个这样的元素都是通过以下方式生成的：∨ X ∨ ķ （X ）$K$$\lor$$X$$\lor$$K(X)$$X$

• 中性元素，它对应于空集，或者$0$
• 生成器，它对应于单例，或{ X $x \in X$$\lbrace x \rbrace$
• 两个元素的连接，对应于一个并集。$S \lor T$

的等效制剂为：就是 -finite如果且仅当，存在和满射。$K(X)$$S \subseteq X$$K$$n \in \mathbb{N}$ $e : \lbrace 1, \ldots, n \rbrace \to S$

如果我们比较这与尼尔的定义，我们看到，他需要一个双射 。这等于采用具有可确定相等性的有限子集：。让我们用为可判定的集合的-finite子集。$e : \lbrace 1, \ldots, n \rbrace \to S$$K$$S \subseteq X$$\forall x, y \in S . x = y \lor x \neq y$$D(X)$$K$$X$

显然，在有限联合的情况下是封闭的，但不必在有限相交的情况下是封闭的。并且在任何操作下都不会关闭。由于人们期望有限集的行为有点像“无顶部的布尔aglebra”，因此也可以尝试将它们定义为自由的广义布尔代数（，，和相对补码），但实际上我从来没有听说过这样的努力。d （X ）0 ∨ ∧ $K(X)$$D(X)$$0$$\lor$$\land$$\setminus$

在确定什么是“正确的”定义时，必须注意对有限集的处理。而且没有一个正确的定义。例如，多项式的复数根的集合在什么意义上是“有限的” ？

见建设性有限？由Thierry Coquand和Arnaud Spiwack撰写的关于有限性的详细讨论。教训是，有限性在建设性方面远非显而易见。