在单带图灵机上计算输入长度

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关于这个问题，我想知道：单带单头图灵机计算其输入长度的时间复杂度是多少？具体而言，让我们说，磁带字母表是，输入是在一个字符串由空白包围，机器开始于最左边的输入符号，并且它必须在终止字符串的最左符号 $\{0,1,b\}$ $(0+1)^*$ $(0+1)^*$ （再次用空格包围），给出了输入长度的二进制表示形式。也可以将其视为将数字从一元转换为二进制的问题。

在两带式或两头式机器上以线性时间很容易解决此问题（只需用一个头扫描输入，而使用另一头重复递增计数器；递增是恒定的摊销时间操作）。但是我能想到的单头解决方案只有 $O(n\log n)$ （例如，重复增加一个计数器，然后沿着磁带将其移动一个位置）。是否有匹配的下限？

我尝试了一些搜索，但是“单头”和“输入长度”之类的短语非常普遍，以至于很难在文献中搜索有关此问题的已知结果。

turing-machines

— 大卫·埃普斯坦
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有趣的是。这比看起来应该的要明显。我很好奇此下限与遗忘的TM模拟的下限之间是否存在关系。（按照定义，任何解决此问题的TM都会被遗忘（或具有不必要的代码）。）

— Daniel Apon 2013年

Answers:

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无法在时间进行计算。 $o(n\lg n)$

令为一台机器，它给定一个输入字符串停顿，其大小为 $M$ $x$ 以二进制形式写在磁带上。 $x$

我们可以向添加一个简单的（零空间线性时间）DFA $M$ 以检查输入的大小是否为2的幂：只需检查第一位为1，其余为零即可。

假设运行时间。然后我们可以在时间中确定输入的大小是2的幂。换句话说，以下语言在。它从如下 $M$ $o(n \lg n)$ $o(n \lg n)$ $\mathsf{DTime}(n \lg n)$

L = {0^{i} ∣ \exists k i = 2^{k}}

$L = \{ 0^i \mid \exists k \ i = 2^k\}$

那

应定期。但是很容易检查语言是否不规则。因此

不能在时间

。

D T i m e (o (n \lg n)) = R e g

$\mathsf{DTime}(o(n \lg n)) = \mathsf{Reg}$

L

$L$

M

$M$

o (n \lg n)

$o(n \lg n)$

— 卡韦
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我在这里错过的东西：当你说

，你考虑一个单磁带机上计算？通常我认为，使用两盘式磁带机来定义复杂性类。一个非常相关的问题是上述结果来自何处？

D T i m e (o (n \lg n)) = R e g

$\mathsf{DTime}(o(n\lg n))=\mathsf{Reg}$

— Bruno

D T i m e (n \lg n) = R e g

$\mathsf{DTime}(n \lg n) = \mathsf{Reg}$

感谢您的指导，我看了“经典递归理论”卷。二。对于事实，它对我来说还不是很清楚。例如，Sipser的书使用单带TM来定义时间复杂度类别，而Hopcroft-Ullman的书以及最新的Arora-Barak和Goldreich的书都使用多带TM。

— 布鲁诺

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@Bruno，我认为是比较常见的定义DTIME更为复杂。例如，通常所说的“时间层次定理不紧密”仅适用于单卷带机，对于两卷带机，自1982

— 。– Kaveh 2013年

D T i m e

$\mathsf{DTime}$

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