难以理解阿贝尔隐藏子组问题的量子算法

我很难理解AHSP算法的最后步骤。令$G$为阿贝尔群，$f$为隐藏子群的函数$H$。让$G^*$代表双组$G$。

这是算法的步骤

1. 首先准备状态

   $\qquad \displaystyle I=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |g\rangle|0\rangle$。

2. 然后应用量子预言，其评价$f$上$I$，我们得到

   $\qquad \displaystyle I'=\sum_{g \in G} |g\rangle|f(g)\rangle$。

3. 现在衡量的第二个量子比特$I'$，我们得到

   $\qquad\displaystyle I'= \left(\frac{1}{|H|}\Sigma_{g \in H} |rh\rangle\right) \otimes |f(rh)\rangle$

   对于一些$r \in G$。

4. 现在我们将量子傅立叶变换应用于第一个量子位，我们得到

   $\qquad \displaystyle I_m = \frac{1}{|H^*|}\sum_{\chi \in H^*} |\chi\rangle$，

   其中。$H^*= \{\chi \in G^*: \chi(h)=1 ,\forall h \in H\}$

从现在的状态我们怎么能拿到小组第一的发电机^ h？$I_m$$H$

这种经典的后处理利用了Abelian群的一些非平凡的群理论特性。我写了一篇关于这种经典算法如何在这里工作的教学解释[1]；其他的良好来源，了解是[ 2，3，4 ]。

因此，以标准为基础在算法末尾进行测量，将使您随机均匀地获得元素。不难确定集合H ∗是字符组G ∗的（有限阿贝尔）子组；因此，在对O （log | G |）测量进行四舍五入后，获得了H ＊的生成集，其概率指数接近于1。$H^{*}$$H^{*}$$G^{*}$$O(\log{|G|})$$H^{*}$

技术性最强的部分是如何重建给予了发电机组的^ h *。让我们从现在开始关注这个问题。为此，我们需要一些性格理论的基础。$H$$H^{*}$

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品格理论

首先，请记住，当是有限交换，字符组成一组同构ģ并且它们可被写为 χ 克（ħ ）= EXP （ 2 π 我中号Σ我= 1克（我）ħ （我$G$$G$ 标签克的字符χ克是的元件ģ。地图克→交通χ克定义之间的同构ģ*和G ^，这样我们就可以识别这两个群体。

$$\begin{equation} \chi_g(h)=\exp{\left(2\pi i \sum_{i=1}^{m} \frac{g(i)h(i)}{d_i}\right)}. \end{equation}$$ $g$$\chi_g$$G$$g\rightarrow \chi_g$$G^*$$G$

现在，鉴于，设定^ h *您介绍的就是卡莱的正交子群^ h或者，根据来源，在上的化子^ h。该子组具有一些重要的数学属性：$H$$H^*$$H$$H$

1. 首先，也是G的子组；$H^*$$G$

2. 这是双到，在这个意义上，如果我们考虑双化子群^ h * *，这个群是同构的 ^ h：即^ h ≅ ^ h * *。这保证了解的方程系统χ 克（ħ ）= 1 $H$$H^{**}$$H$$H\cong H^{**}$ 恰恰是群的元素 ^ h是你想要的。

   $$\chi_g(h)=1,\quad \textrm{ for every } g\in H^*$$ $H$

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组上的线性方程

现在，我们可以使用的一个主要观察结果如下（本部分我将遵循 [1]）：以前的方程组可以重写为“ 有限Abelian组上的线性方程组 ”。这样，我的意思是输入到有限的Abelian组，Y；元素b ∈ ÿ ; 一个群同态α ：X → Y并且任务是找到方程α （x ）= b的解您可以证明任何同态都可以写成矩阵$X$$Y$$b\in Y$$\alpha:X\rightarrow Y$

$$\alpha(x)=b$$ $A$，以使上述问题可以重新表示为 ，其中我们假设Y=Zd 1 ×⋯×Zd m。 $$\begin{equation} A x= \begin{pmatrix} a_1(1) & a_2(1) & \cdots & a_n(1)\\ a_1(2) & a_2(2) & \cdots & a_n(2)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_1(m) & a_2(m) & \cdots & a_n(m) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(1)\\ x(2)\\ \vdots\\ x(n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b(1) \\ b(2) \\ \vdots\\ b(m) \end{pmatrix} \begin{matrix} \mod d_1\\ \mod d_2\\ \vdots\\ \mod d_m \end{matrix} = b \end{equation}$$ $Y=\mathbb{Z}_{d_{1}}\times\cdots\times \mathbb{Z}_{d_{m}}$

$x_0+\ker{\alpha}$$x_0$$\ker{\alpha}$$\alpha$$X$$\ker{\alpha}$ 以几乎对角线的形式重写系统（一些其他中间步骤是必需的，但是这应该给您直观的印象）。

$H$$\Omega x = 0$$\Omega$$\Omega$

$I_m$$\chi \in G^*$

$n$$n$$G$$K$$G^*$

$H$$H^*$$K$

$n$