P或BPP中出现问题的总体原因

最近，当我与物理学家交谈时，我声称，根据我的经验，当天真的看起来需要花费指数时间的问题变成P或BPP时，这通常可以识别出发生还原的“总体原因” ---并且几乎总是，这个原因属于一打或更少的“通常的可疑对象”（例如：动态编程，线性代数...）。但是，那让我开始思考：我们真的可以写下这样的原因的体面清单吗？这是第一个不完整的尝试：

（0）数学表征。问题具有非显而易见的“纯数学”特征，一旦知道，它就可以立即使您可以对一系列poly（n）可能性进行详尽的搜索。 例如：图平面度，从Kuratowski定理出发，遵循O（n ⁶）算法。

（正如下面的“平面”所指出的，这是一个糟糕的例子：即使您知道平面度的组合特征，给出多项式时间算法还是很不容易的。因此，让我在这里替换一个更好的例子：如何，例如，“假设输入n用二进制编写，则计算需要多少颜色才能对嵌入在具有n个孔的表面上的任意地图进行着色。”毫无疑问，这是完全可计算的（甚至是有限的！）。但是，有一个已知的公式给出了答案，一旦您知道了该公式，就可以用多项式时间进行计算，与此同时，应该添加“减少未成年未成年人/罗伯逊-西摩理论”作为一个单独的总体原因在P.）

无论如何，这不是我最感兴趣的情况。

（1）动态编程。 可以以一种无需递归分解的方式进行递归求解的方式分解问题-通常是因为要满足的约束以线性或其他简单顺序排列。“完全组合”；不需要代数结构。可以说，图可达性（因此2SAT）是特殊情况。

（2）拟阵 问题具有拟阵结构，可使贪婪算法起作用。示例：匹配，最小生成树。

（3）线性代数。 可以将问题简化为求解线性系统，计算行列式，计算特征值等。可以说，大多数涉及“奇迹般的取消”的问题，包括可以由Valiant的Matchgate形式主义解决的那些问题，也都属于线性代数的范畴。

（4）凸性。 问题可以表示为某种凸优化。半定规划，线性规划和零和博弈是常见的（越来越多）特殊情况。

（5）多项式恒等检验。 可以通过检查多项式恒等式来减少问题，从而使代数的基本定理产生有效的随机算法-在某些情况下，例如素数，甚至是可证明的确定性算法。

（6）马尔可夫链蒙特卡洛。 可以将问题简化为从快速混合步行的结果中取样。（例如：大约计算完美匹配。）

（7）欧几里得算法。 GCD，连续分数...

杂项/分类方法不明确：稳定的婚姻，多项式因式分解，置换组的隶属度问题，数论和群论中的各种其他问题，低维晶格问题...

我的问题是：我遗漏的最重要的事情是什么？

澄清：

• 我意识到不可能有一个完整的清单：无论您给出多少有限的原因，某人都将能够找到P中的奇特问题，但由于任何这些原因都不会。部分由于这个原因，我对在P或BPP中提出许多不同的，看似无关的问题的想法比只对一个问题有用的想法更感兴趣。

• 我也意识到，如何划分事物是主观的。例如，拟阵是动态编程的特例吗？深度优先搜索的可溶解性是否足够重要，足以成为其自身的理由，与动态编程分开？同样，通常由于多种原因，P中可能存在相同的问题，具体取决于您如何看待它：例如，由于线性代数，找到一个本征值在P中，这也是因为它是一个凸优化问题。

简而言之，我不希望有一个“分类定理”，只是希望有一个列表能有效地反映我们目前对有效算法的了解。这就是为什么我最感兴趣的是将这些东西应用到P或BPP中的技术，这些技术具有广泛的适用性，但不适合上面的清单-或其他一些改进我的初次尝试以弥补我夸耀的想法。物理学家。

一些图类允许多项式时间算法来解决所有图类都难解的问题。例如，对于完美的图，可以在多项式时间内找到最大的独立集合（这要感谢vzn的注释，这是为了慢跑我的记忆）。通过产品构造，这还可以统一解释几个明显不同的CSP（例如，具有树结构的CSP通常通过层次分解来解决，而All-Different约束通常通过完全匹配来解决）。

可以说，理想图是“容易的”，因为它们允许对问题进行很好的半定程序设计（因此属于线性代数和/或凸性）。但是，我不确定是否可以完全捕获正在发生的事情。

• AndrásZ. Salamon和Peter G. Jeavons，“ 完美约束是易处理的”，CP 2008，LNCS 5202，524-528。doi：10.1007 / 978-3-540-85958-1_35

• Meinolf Sellmann， 树结构二元约束满足问题的多面体，CPAIOR 2008，LNCS 5015，367-371。doi：10.1007 / 978-3-540-68155-7_39

正如吉尔·凯莱（Gil Kalai）指出的那样，可以通过有限的一组禁止未成年人（这是Robertson-Seymour定理）来定义构成次闭合类的图的属性。罗伯逊和西摩的另一个结果是，可以在立方时间内完成对未成年人的测试。这些共同导致了多项式时间算法来确定次要封​​闭的属性。

• Neil Robertson和PD Seymour，Graph Minors。十三。不相交路径问题，《组合理论杂志》，系列B 63（1）65-110，1995年。doi：10.1006 / jctb.1995.1006

次闭合图形特性的一个问题是它们是“小”的。即使排除一个未成年人，也会排除许多图表。这可能是Robertson-Seymour结构分解起作用的原因之一：剩下的图很少，它们没有一个好的结构。

• Serguei Norine，Paul Seymour，Robin Thomas和Paul Wollan，适当的小亲属家庭很小，《组合理论杂志》，系列B 96（5）754–757，2006年。doi：10.1016 / j.jctb.2006.01.006（预印本）

超越次要封闭类的一种尝试是通过禁止子图或禁止诱导子图定义的类。

通过检查所有可能的子图，可以在多项式时间内确定由一组有限的禁止子图或诱导子图定义的图属性。

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• Maria Chudnovsky和Paul Seymour，不包括归纳的子图，《组合调查》，2007年，第99-119页，剑桥大学出版社，ISBN9780521698238。（预印本）

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格基减少（LLL算法）。这是有效整数多项式因式分解和一些有效密码分析算法（例如线性同余生成器的中断和低阶RSA）的基础。从某种意义上讲，您可以将欧几里得算法视为一种特殊情况。

Lenstra的有界维整数编程，Lenstra-Lenstra-Lovasz算法以及相关的后续算法-可以添加Barvinok的有界维IP问题整数解数算法和Kannan的Frobenius / Sylvester问题P算法一个特殊的类别。这里一个值得注意的开放问题是为Presburger层次结构中的高阶问题找到一个P算法。

值得一提的另一类P算法是通过随机证明证明存在于对象上的那些P算法。示例：Lovasz-Local Lemma应用的算法；Spencer差异结果的算法版本；（略有不同）Szemeredi正则性引理的算法版本。

关于具有多项式时间算法的固定模板约束满足问题的类别，有大量且仍在增长的理论体系。这项工作大部分都需要精通Hobby和MacKenzie的书，但是幸运的是，对于那些对计算机科学比对通用代数更感兴趣的人来说，该理论的某些部分现已简化为TCS读者可以访问。

$\Gamma$$S$$T$$\Gamma$$S$$T$

$\Gamma$$k \ge 3$$k$$\Gamma$$(0,0,\dots,0)$$S$$0$$T$

$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$; 这实际上意味着问题类别包含约束求解器考虑的所有依次较简单的子问题，因此约束求解的过程避免了在解决“简单”问题的同时生成“硬”中间实例。

$\Gamma$$\Gamma$

迄今为止的结果似乎表明，应该对底层可到达性状态空间进行某种通用的动力转换，从而可以将此类问题转变为每个关系中具有恒定元组的问题，例如上面的示例。（这是正在进行的研究，我个人的解释，并很可能是完全错误的，这取决于算法目前寻求代数与循环方面如何平移出来，所以我有权宣布放弃这个权利。）据了解，当有ISN如果不进行这种转换，那么问题就在于NP完全了。目前，二分法猜想的前沿涉及缩小这一差距。请参阅2011年代数和CSP研讨会上的未解决问题列表。

无论哪种情况，这都应该在Scott的列表中输入。

PTIME中的第二类允许将本地一致性技术应用于可能的解决方案，直到找到解决方案或没有解决方案为止。这实质上是大多数人解决数独问题的方式的复杂版本。我不认为此原因目前也没有出现在Scott的列表中。

$\Gamma$

最后，在无限域的情况下，Manuel Bodirsky发起了许多令人兴奋的工作。一些算法看起来很奇怪，最终可能会导致在Scott列表中出现更多条目。

我看到钱德拉（Chandra）提到了它，但是我认为LP松弛的结构（例如由于总的单模量）是导致结构多项式的“结构”的普遍形式。它占了一大类的多边形时间算法。如果其中包含诺言问题，那么它也会考虑一大类逼近算法。LP和/或SDP所没有遇到的最常见的原因是高斯消去和动态编程，当然还有诸如全息算法之类的其他原因也没有简单的解释。