比较了句法类和Nerode类的数量增长。

对于语言大号⊆Σ^ *，定义句法同余 ≡的大号为对至少同余Σ^ *该饱和大号的，即：

u≡v⇔（∀x，y）[xuy∈L↔xvy∈L]。

现在将Nerode等价定义为以下右等价：

u〜v⇔（∀x）[ux∈L↔vx∈L]。

令[u]是u关于≡的等价类和〈u〉关于〜的等价类。现在定义I（N）是不同的数目[U] 为ü大小的Ñ，并定义Ĵ（n）的类似的方式为〜。

现在的问题是，这两个功能是如何关联的？

例如，一个标准定理（我相信是Kleene-Schützenberger）说，只要j（n）为正，i（n）便以常数为界。

问题：这种趋势还有其他结果吗？例如，如果其中之一是多项式怎么办？

看来本文 http://arxiv.org/abs/1010.3263 可能与您的问题有关。

摘要指出：

规则语言的状态复杂度是接受该语言的最小确定性自动机中的状态数。规则语言的句法复杂性是其句法半群的基数。常规语言子类的语法复杂度是最坏情况的语法复杂度，它是该类语言的状态复杂度的函数。我们研究常规理想语言及其补充语言（封闭语言）的句法复杂性。我们证明ñ ñ - 1是在右侧的理想和前缀封闭语言的复杂性上界一紧，而且存在留下的理想和语法复杂后缀封闭的语言ñ ñ $n$$n^{n-1}$，和双面的理想和句法复杂因子闭语言 ñ ñ - 2 +（Ñ-2） 2 ñ - 2 +1。$n^{n-1}+n-1$$n^{n-2}+(n-2)2^{n-2}+1$

因此，据我所知，这回答了您关于句法和Myhill-Nerode半群的大小的问题：一般来说，句法全等可能比Myhill-Nerode关系具有指数级的类。

最后的评论。通常，两个半群对常规语言的确定性都归因于M.Rabin和D.Scott（有限自动机及其决策问题。IBMJourmal，1959年4月）。特别地，从Rabin和Scott的文本可以得出，句法类的数量不超过，其中n是Myhill-Nerode类的数量。$n^n$$n$