（假？）函数可计算性的证明吗？

19

考虑，一个返回1且零的函数连续出现在。现在有人给我证明是可计算的： $f(n)$ $n$ $\pi$ $f(n)$

对于所有n而言，要么出现在，要么存在出现在而则没有。对于第一种可能性 ; 对于第二个 iff，否则为0。 $0^n$ $\pi$ $0^m$ $\pi$ $0^{m+1}$ $f(n) := 1$ $f(n) := 1$ $n \leq m$

作者声称这证明了可计算性，因为存在一种计算它的算法。 $f(n)$

这个证明正确吗？

computability

— 迈克·B。
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2

您可以在问题中使用乳胶，以使其更具可读性。

— 戴夫·克拉克

7

该论点是正确的，但不是建设性的。这个人没有给您TM，而是给您两个TM，并告诉您其中一个正在计算所需的功能，但不知道哪个。

— 卡夫

1

您的版本是可计算的。但是，我误读并偶然发现了一个我认为不可争议的版本。唯一的变化：询问π是否最多具有n个零，而不是正好是n个零。如果确实如此，我相信您无法确认，因为π有无数个数字，并且（似乎？）没有任何模式重新出现。

— chazisop

我曾经纠正过一个Wikipedia页面，该页面犯了一个相关的错误，声称Chaitin常数的存在证明了“不可计算的整数”的存在。

— 2014年

这些类型的问题往往是关于“琐碎的语言”的。但是请注意，通常是稍微重新格式化，例如在语言为

下，其中

是

字符串的第一个（或第1个）位置，如果没有这样的字符串，则为-1是不确定的。另请参见如何确定

具有一些数字序列？/ 计算机科学

f (n, k) = m

$f(n, k) = m$

m

$m$

0^{k}

$0^k$

π

$\pi$

— vzn 2015年

23

想想这样的方式，麦克：这证明“分支”到多个可能的情况下，其中一个必须是真（使用排中律，对于每一个命题，要么是真的还是是真实的）。但是，在每个分支的末尾，您总是设法证明函数是可计算的。因此，无论现实生活中哪种情况真正成立，必须是可计算的。（然而，确切原因为何是可计算将是不同的，这取决于分支）。 $p$ $p$ $\neg p$ $f$ $f$ $f$

— 瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）
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16

它是正确的。这是相同的，如下：定义是常数函数如果神存在，并且如果神不存在。所得函数是一个常数函数，因此是可计算的。您可能无法做的就是提供该功能，但是该功能本身是可计算的。 $f(x)$ $x \mapsto 0$ $x \mapsto 1$

在这里，两种可能性之一是正确的：要么存在这样的，要么不存在。该函数要么是常数函数或简单的阈值函数，与定义。 $m$ $x \mapsto 1$ $m$

— 米歇尔·卡迪拉哈克（MichaëlCadilhac）
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4

我将

代替“如果上帝存在” 。:)

P \neq N P

$P \neq NP$

— 卡夫

好的，很抱歉造成误解，我对证明的非构造性没有任何疑问。我的问题是，我们（或至少我）不知道

是否可计算。为什么没有必要证明这一点？

m

$m$

— Mike B. 2010年

5

谈论整数是否可计算真的没有任何意义。无论m取什么值，都有一个图灵机输出它。当然，找到它可能很困难，但这与一般情况没有什么不同：发现算法很困难，这是使我们许多人继续工作的事实。

— 亚伦·罗斯

我还是不明白。哪台图灵机可能会输出此m？不只是它必须显示

出现在

，更重要的是它必须验证

不-这是国际海事组织的问题。

0^{m}

$0^m$

π

$\pi$

0^{m + 1}

$0^{m+1}$

— Mike B. 2010年

这是您所谈论的建设性方式。如果我给你一台机器，这样的输出

，它并不需要说服你，这是正确的

，因为它是在机器outputing这种

（嗯，一机至少）。这与上帝的示例（BTW来自Sipser）相同：如果机器输出

，则无需说服您上帝不存在。就是这样。

m

$m$

m

$m$

m

$m$

0

$0$

— 迈克尔Cadilhac

14

我认为-并且希望-每个计算机科学专业的学生都面临这个感觉似悖论的问题。这是一个很好的例子，说明了TCS意义上的可计算性和实践意义上的可计算性的区别。

我当时的想法是：“是的，如果我知道答案，那显然是可以计算的。但是如何找出答案呢？” 诀窍是摆脱幻想，即必须发现是否具有此属性。因为，这显然（用imho阅读）不能用图灵机来完成（只要我们不比具有更多的知识）。 $\pi$ $\pi$

考虑你的定义可计算性：我们说是（Turing-）可计算当且仅当。那就是您只需要证明一台合适的图灵机的存在，而不必给出一个。您-我们-试图在那里做的就是计算可计算所需功能的Turing机器。这是一个更困难的问题！ $f$ $\exists M \in TM : f_M = f$

证明的基本思想是：我给您提供了无限类的函数，所有这些函数都是可计算的（此处仅作演示用）。然后，我证明您正在寻找的功能在该类中（以示；此处区分大小写）。ed

— 拉斐尔
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9

是的，没错，它是可计算的。问题在于您的函数实际上并没有为无限的问题提供解决方案，例如，计算暂停问题的解决方案的函数的方式（例如）是-因此，计算没有问题。取而代之的是，您以函数形式表示具有有限表示形式的某些数学事实，可以是整数，也可以是f是常数1的事实。

可以使用单个实数来编码暂停问题，例如Chaitan常数，但是整数始终具有有限的表示形式，因此可以将其编码为图灵机。 $\Omega$

当然，找到正确的算法可能是一个难题。但是找到正确的算法通常很困难！

— 亚伦·罗斯
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3

发布有点老，但想发布另一个答案。

这是可计算性的非建设性证明（或论据）。它只是说该函数必须在某种意义上存在，因为我可以在可计算函数的集合（或整个函数）中表示它（或更正确地对其进行索引）。但是，它既不构造机器本身（即算法），也不构造索引（假设可计算机器的有效枚举）。在这些情况下，英语短语“ 谢谢 ”一词似乎最为合适，如下所示：

-- Look, I proved there is water somewhere! 

Now you can be happy, while dying from thirst!

数学史上的人们已经对这种论证的实际有效性（或有效性范围）和含义争论了很多。最终结果是，相同类型的论点再次出现在Goedel的不完全性定理中，并违背了这种 “封闭宇宙假设”。

如果您非常不喜欢这些论点，我不会怪您。

— Nikos M.
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