如何在没有类型系统的情况下使Lambda Calculus强规范化？

是否有任何类似于lambda演算的系统都可以进行强规范化，而无需在其顶部添加类型系统？

我可以想到线性逻辑的一些可能答案。

最简单的是仿射Lambda演算：仅考虑每个变量最多出现一次的Lambda项。通过还原可以保留这种条件，并且可以立即看到仿射项的大小在每个还原步骤中都严格减小。因此，未类型的仿射λ演算正在高度规范化。

吉拉德在“轻线性逻辑”（Information and Computation 143，1998）中引入的线性逻辑子系统也产生了所谓的“轻” lambda计算，这是更有趣的例子（在表达上）。作为Lafont的“软线性逻辑”（理论计算机科学318，2004）。文献中有几种这样的计算，也许很好的参考是Terui的“轻仿射Lambda微积分和多项式时间强归一化”（Archive for Mathematical Logic 46，2007）。在该论文中，Terui定义了从轻仿射逻辑派生的lambda演算，并证明了其强大的归一化结果。即使在本文中提到了类型，但在规范化证明中并未使用它们。它们对于轻仿射λ演算的主要属性的简洁表述非常有用，即某种类型的项恰好表示Polytime函数。对于基本计算，使用其他“轻型”拉姆达计算也可获得相似的结果（Terui的论文包含更多参考文献）。

作为附带说明，有趣的是，从证明理论的角度讲，仿射λ演算对应于没有收缩规则的直觉逻辑。Grishin观察到（在引入线性逻辑之前），在没有收缩的情况下，天真集理论（即具有不受限制的理解）是一致的（即，罗素悖论没有给出矛盾）。原因是可以通过简单的减小大小的论点（如我上面给出的那样）来证明不采用紧缩的朴素集理论的消减，而这种论点不依赖于公式的复杂性。通过Curry-Howard对应关系，这恰好是未类型的仿射λ演算的归一化。它是通过将罗素悖论转化为线性逻辑并“扭曲” 指数模态，因此不能得出吉拉德提出轻线性逻辑的矛盾。如上所述，在计算方面，轻线性逻辑给出了多项式时间可计算函数的特征。用证明论的术语来说，可以在轻线性逻辑中定义一致的朴素集理论，使得可证明的总函数恰好是多项式时间可计算函数（特瑞（Terui）对此发表了另一篇论文，“轻仿射集理论：朴素集多项式时间理论”，Studia Logica 77，2004年）。

Church和Rosser的原始论文“转换的某些属性”描述了一些您可能正在寻找的示例。

如果您使用严格的 lambda演算，则每次发生$\lambda x.M$ 你有那个 $x$ 免费出现在 $M$，则在没有类型系统的情况下，以下属性成立（这是Church和Rosser论文中的定理2）：

如果 $B$ 是...的正常形式 $A$，然后有一个数字 $m$ 这样，从 $A$ 会导致 $B$ 最多[模α当量] $m$ 减少。

因此，即使您可以在（无类型的）严格lambda演算中写出非终止项，但每个具有范式的项都将高度规范化；也就是说，减少的每个顺序都将达到该唯一的正常形式。

这是尼尔·琼斯（Neil Jones）和妮娜·玻尔（Nina Bohr）的有趣影片：

无类型的按值终止 $\lambda$-结石

它显示了如何对未类型化应用大小变化分析（一种检测无限循环的控制流分析类型）$\lambda$-条款。这在实践中是相当不错的，但是当然仅限于$\lambda$-没有定义常量的术语（尽管该方法可以扩展为更通用的用法）。

键入的优势当然是低复杂度成本和该方法的模块化：通常，终止分析是非模块化的，但是键入可以“逐段”进行。