是否存在规则的树语言，其中大小为

我们在TATA一书中定义了规则的树语言：这是非确定性有限树自动机所接受的树集（第1章），或者等效地，是由规则树语法生成的树集（第2章）。两种形式主义都与众所周知的字符串类似物非常相似。

是否存在规则的树语言，其中大小为的树的平均高度 $n$ 既不是 $\Theta(n)$ 也不是 $\Theta(\sqrt{n})$ ？

显然，有一些树语言使得树的高度在大小上是线性的。并在书中解析组合学中，示出例如该大小的二叉树 $n$ 具有平均高度 $2\sqrt{ \pi n}$ 。如果我正确地理解了该书的第VII.16号提案（p.537），则存在大量的常规树语言子集，平均高度为 $\Theta(\sqrt{n})$ ，即树语言也是满足某些额外条件的简单树种的树。

所以我想知道是否有一种普通的树语言显示出不同的平均高度，或者是否有一种真正的二叉法。

注意：这个问题在计算机科学上曾被问过，但是三个多月没有得到回答。我想在这里重新发布它，因为这个问题太老了，无法移植，并且仍然对该问题感兴趣。这是原始帖子的链接。

— john_leo
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具有恒定深度的单个树是一个明显的答案：o（\ sqrt {n}）但不是

Ω (\sqrt{n})

$\Omega(\sqrt{n})$ 。我相信您可能是在问其他问题？替换

Θ (\sqrt{n})

$\Theta(\sqrt{n})$ 为

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$ 也许吗？

— 2014年

是的，没有。我认为，与平均水深正则树语言

O (n^{1 / 3})

$O(n^{1/3})$ （说）也将是非常有趣的。但是您是对的，因为我们应该排除这种退化的情况。也许我们应该要求树语言包含无限多个元素？

— john_leo 2014年

您想种什么树？排名树，未排序的同级树，未排名的无序树；顺便说一句，您是指哪种树型自动机，自下而上或自上而下？

— 2014年

n

$n$

n

$n$

lim sup

$\lim\sup$

f

$f$

f (n) \notin Θ (\sqrt{n})

$f(n)\notin \Theta(\sqrt{n})$

f (n) \notin Θ (n)

$f(n)\notin\Theta(n)$

n

$n$

Θ (n)

$\Theta(n)$

Θ (\sqrt{n})

$\Theta(\sqrt{n})$

Θ (g)

$\Theta(g)$

g \notin {\sqrt{n}, n}

$g\notin\{\sqrt{n},n\}$

我相信答案是您所建议的，除了，和以外，没有其他渐近线。证明这一点的一种有前途的途径可能是将论文中的技术应用渐近性应用于常规语言的运行树。请注意，如果存在运行树，则可以接受一棵树，因此应该有可能首先导出（使用loc.cit。）随机生成的运行树的平均高度，然后从那里获取它，即表明将状态投影出去确实可以不改变平均高度。 $\Theta(1)$ $\Theta(\sqrt{n})$ $\Theta(n)$ $\Theta(\sqrt{n})$

— 马丁·霍夫曼
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我认为这只是评论而不是答案，因为这种尝试能否实现还很不清楚。

— Danny