最大不相交集：贪心算法的实际近似因子是多少？

考虑从给定的候选集合中找到最大不相交集（最大不重叠几何形状集）的问题。这是一个NP完全问题，但是在许多情况下，以下贪婪算法会得出一个恒定因子近似值：

• 对于每个候选形状x，计算其不相交的交点数 =与x相交的最大不相交形状数。$DIN(x)$
• 选择具有最小DIN（）的候选形状。删除它及其相交的所有形状。$\arg \min_{x} DIN(x)$
• 继续，直到没有更多候选人为止。

例如，考虑来自Wikipedia页面的下图：

绿色磁盘与其他5个磁盘相交，但其DIN为3（3个红色磁盘不相交）。最上面和最下面的红色磁盘与其他2个磁盘相交，但它们本身相交，因此它们的DIN为1。黄色磁盘的DIN为2。因此，贪心算法选择了最上面或最下面的红色磁盘。

如果最小DIN可以被常数限制，则贪心算法是多项式常数因子近似。

例如，如果所有候选形状都是单位圆盘，则Marathe等人（1995年）表明，始终存在DIN最多为3的圆盘：最左边的圆盘（x坐标最小的圆盘）与其他3个不相交的圆盘相交。 。因此，贪心算法会产生3个近似值，因为在最佳解决方案中，它为每个（最多）3个磁盘获得1个磁盘。

类似地，如果所有候选形状都是任意大小的磁盘，则贪心算法会得出5近似值，因为最小的磁盘最多与其他5个不相交的磁盘相交，即最小DIN最多为5。

到目前为止，一切都很好，但是3和5的这些因素是否严格？我不确定。

考虑上图。选择最左边的磁盘（绿色）会发现大小为1的不相交集，这实际上是大小为3（红色）的最大不相交集的3近似值，但是，贪婪算法不会选择绿色的磁盘-它将选择顶部/底部的红色磁盘，其DIN为1。在这种情况下，贪心算法将找到最佳解决方案。

我找不到通用的反例，其中贪心算法找到具有单位磁盘的不相交集，而最大不相交集为。实际上，我什至无法构建一个最小DIN确实为3的通用反例。我能想到的最好的方法是，每个单元盘最多与2个其他不相交的盘相交（即最小DIN）。是2）。但是即使在这里，贪婪算法也会找到最佳解而不是2近似值：$n$$n$$3n$

我的问题是：

• 单位磁盘集合中的实际最大最小DIN是多少？任意大小的磁盘？
• 贪婪算法对于单位磁盘集合的实际近似因子是多少？对于任意大小的磁盘？（该因数最多与最大最小DIN一样大，但可能更小）。

更新：对于每个k元形，定义 =由其并集相交的不连续形状的最大数量。将定义为所有不相交形状的k元组中的最小DIN。$x_1,...,x_k$$DIN(x_1,...,x_k)$$x_1\cup...\cup x_k$$minDIN_k$

例如，在下面的Yury的答案中，，因为每个圆都与其他3个圆相交。，因为可以选择2个不相交的圆，一个不相交的圆，一个是外圆，一个是内圆，它们仅相交于其他4个圆。对于每个，。$minDIN_1=3$$minDIN_2=4$$k$$minDIN_k\leq k+2$

我认为，贪婪算法的近似比率可以受，因为对于最优解中的每个形状，算法输出中至少有形状。它是否正确？$\frac{minDIN_k}{k}$$minDIN_k$$k$

编辑：我现在正在阅读出色的书《离散几何中的研究问题》。虽然我没有发现这个确切的问题，但是我发现了一个看起来很相关的问题。在“ 2.5个带有多个邻居的细包装”部分中，有一些圆形包装的示例，其中每个圆与其他5个圆接触。我想知道这样的填料是否可以产生DIN = 5的圆形结构。

单位磁盘集合中的实际最大最小DIN是多少？

是3