如何检查数字是否是多项式时间的完美幂

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AKS素数测试算法的第一步是检查输入数字是否为完美幂。这似乎是数论中众所周知的事实，因为本文没有详细解释。有人可以告诉我如何在多项式时间内执行此操作吗？谢谢。

ds.algorithms nt.number-theory

— z
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7

AKS算法的第一步是测试输入数字是否为理想幂（对于某些整数c，n> 1，形式为

的数字），这与测试数字是否为质数幂不同。测试完美功率的方法是该论文引用的练习9.44（von zur Gathen和Gerhard着的Modern Computer Algebra，2003年）。我没有读过这本书，也不知道答案，但是您已经阅读了这本书吗？

c^{n}

$c^n$

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

1

我相信AKS的第一步是检查数字是否是某个正整数的幂，不一定是质数。如果知道如何在AKS之前的多项式时间内检查素数，那早就可以得到一个多项式时间素数测试仪。

— arnab

@Tsuyoshi感谢您指出我的错误。我没有看过这本书。

— yzll

2

如果您关心这个问题，请在发布前尝试解决问题。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

Tsuyoshi / arnab，也许您应该重新发布答案，这样才能被接受？

— Suresh Venkat 2010年

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给定一个数n，如果在所有它可写为（B> 1），则。而对于每一个固定的，检查是否存在一个用可以使用二进制搜索来完成。因此，我估计总运行时间为。 $a^b$ $b < \log(n) + 1$ $b$ $a$ $a^b = n$ $O(\log^2 n)$

— 兰普拉萨德
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5

兰普拉萨德的答案不包括进行求幂的时间，即

。另一种方法是选择

然后计算

第

个根，其总时间为

。

O (l o g^{3} n)

$O(log^3 n)$

b

$b$

b

$b$

n

$n$

O (l o g^{3} n)

$O(log^3 n)$

— 大卫·马奎斯

1

一个简单的改进，通过仅选择素数

进一步消除了

因子。

\log \log n

$\log \log n$

b

$b$

— 赵超

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参见Bach和Sorenson，《用于完美功率测试的Sieve算法》，Algorithmica 9（1993），313-328，DOI：10.1007 / BF01228507，和DJ Bernstein，《在基本上线性的时间内检测完美功率》，《数学》。比较 67（1998），1253-1283。

— 杰弗里·萨利特（Jeffrey Shallit）
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还有一篇后续文章，它改善了渐近运行时间并简化了处理过程：DJ Bernstein，HW Lenstra Jr.和J. Pila，通过分解为互质数来检测完美幂，Math。比较 76（2007），385-388。

— Erick Wong

3

我在论文中找到了一个有趣而优雅的解决方案：关于AKS类素数测试的实现，R.Crandall和J.Papadopoulos，2003年3月18日。

— 隆布
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2

不知何故，我可以表明，该二进制搜索算法是。 $O(lg~n \cdot (lg~lg~n)^2)$

首先，，存在。二进制搜索算法： 对于每个，我们使用二进制搜索找到。 $a^b = n$ $b<lg~n$
$b$ $a$

每次使用快速幂运算来计算花费运算。因此，剩下的问题是范围。 $a^b$ $lg~b = lg~lg~n$ $a$

如果是最大可能值，那么二进制搜索需要操作 $A$ $a$ $lg~A$

注意，即 $b~lg~a = lg~n$ 。当总结，

l g A = \frac{l g n}{b}

$lg~A = \frac{lg~n}{b}$

\sum l g A = l g n \cdot (\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + . . . + \frac{1}{B}) = l g n \cdot l g B = l g n \cdot l g l g n

$\sum lg~A = lg~n \cdot (\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{B}) = lg~n \cdot lg~B = lg~n \cdot lg~lg~n$

换言之，对于所有二进制搜索的操作是 $O(lg~n \cdot lg~lg~n)$

$a^b$ $O(lg~n \cdot (lg~lg~n)^2)$

ps：所有lg都以2为底。

Python代码：

#--- a^n ---------------------------------------
def fast_exponentation(a, n):
    ans = 1
    while n:
        if n & 1 : ans = ans * a
        a = a * a
        n >>= 1
    return ans
#------------------------------------------
# Determines whether n is a power a ^ b, O(lg n (lg lg n) ^ 2)
def is_power(n):
    if (- n & n) == n: return True  # 2 ^ k
    lgn = 1 + ( len( bin ( abs ( n ) ) ) - 2)
    for b in range(2,lgn):
        # b lg a = lg n
        lowa = 1L
        higha = 1L << (lgn / b + 1)
        while lowa < higha - 1:
            mida = (lowa + higha) >> 1
            ab = fast_exponentation(mida,b) 
            if ab > n:   higha = mida
            elif ab < n: lowa  = mida
            else:   return True # mida ^ b
    return False

— 凯文
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