可逆（r-Turing可计算）函数的Lambda演算

我对Axelsen和Glück（2011）定义的“ r-Turing完整性”的概念感兴趣。如果系统可以计算出与可逆图灵机相同的功能集，而又不产生任何“垃圾”数据，则表示该系统已完成。这与能够计算（a）可计算和（b）内射式的每个函数相同。

我想以计算方式探索可计算内射函数的空间。为了做到这一点，我正在寻找“最小的”可逆编程语言-某种可以在r-Turing可计算性中扮演与lambda演算在Turing可计算性中扮演的角色相同的角色。

我知道人们已经开发出许多可逆语言，并证明它们是r-Turing完整的。但是，在开发这些程序时会考虑到实际应用，因此，他们的作者专注于为它们提供表达功能，而不是使它们最小化。

有谁知道是否已经描述了这种最小的可逆语言，或者是否有任何针对这种方向的研究？我对这个主题的文献还很陌生，所以我很容易错过它。或者，是否有人对如何创建这种语言有任何见解？

以下是我要寻找的摘要。我不知道是否可以通过修改lambda微积分本身来创建它，或者是否必须使用完全不同类型的语言。

• r-Turing完整语言-计算所有可计算的可逆函数，并且只能计算可逆函数
• 语法和语义尽可能少。（例如，Lambda演算仅具有函数定义和应用程序，而没有其他功能。）尽管语法或语义可以与Lambda演算的语法或语义相关，但它们不一定是必需的。
• 程序=数据。即，程序对表达式而不是任何其他种类的数据进行操作。这样可以保证程序的输出始终可以解释为程序。这可能意味着它必须是一种实用的语言，而不是命令式的语言。
• 有一些系统的方法可以将程序转换为逆运算，而实际上执行逆运算所涉及的运算并不多。（并非所有可逆语言都具有此属性，但有些属性具有。）

我应该强调一点，由于Bennett，Axelsen和Glück的可逆计算方法与众所周知的方法大不相同，在Bennett中，通过返回有关计算历史记录的一些信息以及输出使（通常是不可逆的）程序可逆。r-Turing完整性是关于无需任何其他输出即可计算内射函数的问题。在Bennet的意义上，有几种称为“可逆lambda演算”的变体是可逆的-这些不是我想要的。

我对该领域不是很熟悉，但是基于将语言限制为同构类型的想法，编程语言社区最近有一些您可能会感兴趣的工作。特别是，您可以看看

• Roshan P. James，Zachary Sparks，Jacques Carette和Amr Sabry的分数类型

以及可以在Amr Sabry的网站上找到的各种相关出版物。