未知是否停止的最小图灵机是什么？

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我知道停顿问题通常无法确定，但是有些图灵机明显停顿了，而有些显然没有。在所有可能的巡回演出机器中，没有人能证明是否停止的最小巡回演出机器是什么？

halting-problem

— 亚伦
source

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答案取决于机器型号的具体信息（符号数量等）。根据Wikipedia在Busy Beaver上的文章，有2个符号的5状态机器，尚不知道它是否停止。

— 卡夫2014年

1

请注意，Aaron的问题不是关于给定语言的可确定性，而是关于特定 Turing机器停止的证据的存在。对于任何图灵机，“其”停止问题（无论该机器是否在空输入上停止）都是“可确定的”：是或否，并且{Yes}和{No}这两种语言都是可确定的。这与是否有机器停止的证据有很大的不同。亚伦，如果您的意思是“最小的是什么，使得停在上的语言无法确定”，您能编辑您的问题吗？

M

$M$

{w ∣ M

$\{w \mid M$

w}

$w\}$

— 2014年

1

@MichaëlCadilhac停止问题通常解释为：“给一台机器和一个输入，为输入停止了吗？” 不是“给机器，是否会为所有输入暂停？”

M

$M$

w

$w$

M

$M$

w

$w$

M

$M$

M

$M$

— David Richerby 2014年

@DavidRicherby：对我来说，停顿的问题是在空输入上停顿的机器（代码）的语言。如果不是这里想要的意思，我认为应该指定它以消除可能的（好的，我的）混乱。

— 迈克尔Cadilhac

研究问题的多种方法是有效且相互关联的，并且在区分问题上确实存在微妙之处，而提问者却没有。

— vzn14年

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可以确定停机问题的最大图灵机是：

$TM(2,3), TM(2,2), TM(3,2)$ （其中是具有个状态和符号的图灵机的集合）。 $TM(k,l)$ $k$ $l$

和的可判定性在边界上，并且难以解决，因为它取决于Collatz猜想，这是一个开放问题。 $TM(2,4)$ $TM(3,3)$

另请参阅我对 P. Michel（2004）提出的类似Collatz式图灵机和“ 小型图灵机和广义繁忙海狸竞赛 ”的理论的回答（据推测也是可判定的）。 $TM(4,2)$

Kaveh的评论和Mohammad的回答是正确的，因此，对于此类结果中使用的标准/非标准图灵机的正式定义，请参见Turlough Neary和Damien Woods在小型通用图灵机上工作，例如小型通用图灵机的复杂性：一项调查（规则110 TM普遍存在）。

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
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2

难道对于任何给定的图灵机有限集而言，停顿问题总是可以确定的吗？由于在只有有限许多机器

，它必须能够建立一个查找表，它正确地说，这机器停止，哪些没有，所以必须有一个图灵机使用这种查询表正确回答问题。

T M (4, 2)

$TM(4, 2)$

— Tanner Swett 2014年

2

@TannerSwett：在这里我们考虑停止集

或者，换句话说，对于这图灵机

是可判定的（见米歇尔的纸）。

{⟨ M, x ⟩ ∣ M halts on x}

$\{\langle M,x \rangle \mid M \text{ halts on } x\}$

H A L T_{M} = {x ∣ M halts on x}

$HALT_M = \{ x \mid M \text{ halts on } x\}$

— Marzio De Biasi 2014年

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我想补充一点，有些图灵机的暂停问题与ZFC无关。

例如，以图灵机为例，该机在ZFC中寻找矛盾的证据。然后，如果ZFC是一致的，它不会停止，但是您不能在ZFC中证明它（因为Gödel的第二个不完全性定理）。

因此，这不仅是尚未找到证明的问题，有时甚至不存在证明。

— 丹尼斯
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ZFC？ZFC是什么意思？我只是无法从上下文中弄清楚。

— 阿卡普尔科2014年

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@Acapulco lmgtfy.com/?q=zfc&l=1

— Sasho Nikolov

大声笑！好。我得到了lmgtfy。碰触。没想到会与该主题直接且唯一相关的首字母缩写是。在任何情况下，我都不会在第一次提到“ ZFC（Zermelo-Fraenkel集合论）”时澄清这一点，也避免在出现歧义时避免歧义吗？:)

— 阿卡普尔科2014年

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@Acapulco，请参阅旅游和帮助中心。任何理论上的计算机科学家都知道ZFC代表什么，因此实际上不需要澄清。

— 卡夫2014年

1

特别要注意的是，最近发现的具有ZFC独立停止问题的

符号机器，在这里（7918个州），这里和这里（1919个州）进行了讨论。几乎可以肯定，州的数目将进一步减少。

2

$2$

— res

5

没有人能证明通用图灵机是否停止。实际上，由于停止问题的不确定性，这种证明是不可能的。该最小的是2状态3符号通用图灵机，它是由亚历克斯·史密斯为他赢得$ 25,000奖金中。

— 穆罕默德·图尔克斯坦尼
source

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但是请注意，根据引用的Wikipedia页面，普遍性的证明是有争议的。同样，这也不是图灵机的标准模型：据称通用机没有停止状态，因此至少在通用图灵机的标准意义上，它无法模拟任何停止的机器。

— David Richerby

2

@DavidRicherby：我认为规则110 的弱通用性已被广泛接受：它需要在输入的左右两边重复两个不同的词，并且停止条件是特殊滑翔机的生成（仅当且仅当模拟机停止）。参见Matthew Cook的“基本细胞自动机的普遍性”。

— Marzio De Biasi 2014年

-4

可以用几种特殊的技术方法研究的措辞不准确但合理的一般性问题。有许多由状态/符号来衡量的“小型”机器，其中暂停是未知的，但不可能有“最小”的机器，除非有人提出了一种考虑到状态和符号的TM复杂性的合理的/可量化的度量标准（显然到目前为止，还没有人提出建议）。

实际上，与忙碌的海狸有关的问题的研究表明，有许多这样的“小”机器躺在双曲线上，其中，状态和符号很小。实际上，这似乎是可确定和不可确定问题之间的一般相变/边界。 $x \times y$ $x$ $y$

这篇新论文由密歇根州领导机构2013年繁忙的海狸竞赛中的数论问题展示了许多低的情况并显示了与一般数论序列的相似性，类似于Collatz猜想。 $x,y$

— z
source

2

无需考虑符号和状态就可以建立度量标准。磁带上有两个符号后，很明显，对于几乎所有状态而言，暂停问题都是无法确定的-我记得，有可能只编写五个状态的通用TM。如果我们知道可判定性的确切边界，我相信可以很容易地用（＃states，＃symbols）对来描述该边界。

— David Richerby 2014年

繁忙的海狸研究确实涉及寻找证明TM是否在状态和符号数量较少的初始设置中停止的证据；有可解决的情况。如果要“最小”，则必须创建一种精确的度量标准来度量“最小”。上面的PT是一个度量仅涉及状态或符号单独可视为误导尽可能代表已知的边界，其既包括（和机器不知道是普遍的）。在这一研究中不可判定边界不“简单”到指定的所有东西，这是它的根本性质而言....

— VZN

1

2 \leq i \leq 4

$2\leq i\leq 4$

k_{i}

$k_i$

k_{2}

$k_2$

k_{3}

$k_3$

k_{4}

$k_4$

k_{2}

$k_2$

k_{3}

$k_3$

k_{4}

$k_4$

— David Richerby 2014年

到目前为止，没有人提出任何指标。在这一领域，没有重要的边界可以“轻松地描述”，并且通过莱斯（Rices thm），人们不会想到这种情况。这似乎表明对研究和引用的参考文献不熟悉，该参考文献对机器的输入的可分辨性感兴趣，这些输入的可分辨性小于已知的通用机器（并且推测不是通用机器）。您的评论似乎集中在通用和非通用机器边界上，这与正在引用的参考文献（以上和Marzio的文献）所探讨的繁忙海狸可判定性边界不同。

— vzn 2014年

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y

$y$